Простейшие функции и их графики
Пропорциональные величины. Если переменные величины у и х (прямо) пропорциональны, то функциональная зависимость между ними выражается уравнением y = kx, где k есть некоторая постоянная величина (коэффициент пропорциональности). График прямой пропорциональности есть прямая линия (см. приложение 1), проходящая через начало координат и образующая с осью абсцисс угол α, тангенс, которого равен постоянной k; tg α = k. Поэтому коэффициент пропорциональности k называется также угловым коэффициентом. Линейная функция. Линейной называется функция вида: y = kx + b, в аналитическое выражение, которой переменные х и у входят в первой степени. График линейной функции представляет прямую линию (см. приложение 2), располагающеюся относительно координатных осей различным образом, в зависимости от постоянных коэффициентов, k и b, которые могут принимать положительные или отрицательные значения или быть равным нулю. Для построения графика линейной функции можно воспользоваться геометрическим смыслом коэффициентов k и b или найти две точки прямой на плоскости, например, точки пересечения с осями координат. Свойства функции y = kx+b: D(f) = (- + ); Возрастает, если k >0, убывает, если k<0; Не ограничена ни сверху, ни снизу; Нет ни наибольшего, ни наименьшего значений; Функция непрерывна; E(f) = (- + ); Обратная пропорциональность. Если переменные величины у и х обратно пропорциональны, то функциональная зависимость между ними выражается уравнением , где с есть некоторая постоянная величина. График обратной пропорциональности есть кривая линия (см. приложение 3), называемая гиперболой, состоящая из двух ветвей. Свойства функции : D(f) = (- 0) U (0, + ); Если с >0, то функция убывает на открытом луче (- 0) и на открытом луче (0, + ); если с<0, то функция возрастает на (- 0) и на (0, + ); Не ограничена ни снизу, ни сверху; Нет ни наименьшего, ни наибольшего значений; Функция непрерывна на открытом луче (- 0) и на открытом луче (0, + ); Е(f) = (- 0) U (0, + ); Если с>0, то функция выпукла вверх при х<0, т.е. на отрытом луче (- 0), и выпукла вниз при х>0, т.е. на открытом луче (0, + ). Если с<0, то функция выпукла вверх при х>0 и выпукла вниз при х<0; Функция имеет асимптоты y = 0 и x = 0/ Квадратичная функция. Функция y = ax2 + bx + с (a, b, с - постоянные величины; а ≠ 0) называется квадратичной. В простейшем случае y = ax2 (b = с = 0) график есть кривая линия, проходящая через начало координат. Кривая, служащая графиком функции y = ax2, есть парабола (см. приложение 4). Каждая такая парабола имеет ось симметрии (OY), называемую осью параболы. Точка О пересечения параболы с ее осью называется вершиной параболы. График функции y = ax2 + bx + с имеет ту же формулу, что и график функции y = ax2 (при том же значении а), т.е. также есть парабола. Ось этой параболы по-прежнему вертикальна, но вершина лежит не в начале координат, а в точке Свойства функции ax2 + bx + с: Для случая, а>0 D(f) = (- + ); Убывает на луче , возрастает на луче ; Ограничена снизу, не ограничена сверху; унаим. = y0, yнаиб. Не существует; Непрерывна; Выпукла вниз. Для случая, а<0 D(f) = (- + ); Убывает на луче возрастает на луче ; Не ограничена снизу, ограничена сверху; не существует, yнаиб. = y0; Непрерывна; 6. Выпукла вверх. Свойства функции y = ax2: Для случая, а>0 D(f) = (- + ); Убывает на луче , возрастает на луче ; Ограничена снизу, не ограничена сверху; унаим. = 0, yнаиб. Не существует; Непрерывна; E(f) = ; Выпукла вниз. Для случая, а<0 D(f) = (- + ); Убывает на луче возрастает на луче ; Не ограничена снизу, ограничена сверху; унаим. Не существует, yнаиб. = 0; Непрерывна; E(f) = Выпукла вверх. Степенная функция. Обычно степенными функциями называют функции вида , где r - любое действительное число. Так, если r - натуральное число (r = n), то получаем функцию . График степенной функции y = xn в случае четного n (n = 4, 6,8, …) похож на параболу, а график степенной функции y = xn в случае нечетного n (n = 5, 7, 9, …) похож на кубическую параболу. Если r = - n, то получаем функцию y = x - n, т.е. . Наконец, если r = 0, т.е. речь идет о функции y = x0, то в результате получается обыкновенная функция у = 1, где х ≠ 0; график этой функции изображен (см приложение 6). Теперь рассмотрим функцию y = xr, где r - положительное или отрицательное дробное число. Рассмотрим в качестве примера функцию y = x2,5. Область ее определения - луч . Построим на этом луче графики функций у = х2 (ветвь параболы) и у = х3 (ветвь кубической параболы) - эти графики изображены. Стоит заметить, что на интервале (0; 1) кубическая парабола располагается ниже, а на открытом луче (1; +∞) выше параболы. Нетрудно убедиться в том, что график функции у = х2,5 проходит через точки (0; 0) и (1; 1), как и графики функций у = х2, у = х3. При остальных значениях аргумента х график функции у = х2,5 находится между графиками функций у = х2 и у = х3 (см. приложение 7). Почему так происходит? Посмотрим: 1). Если 0 < х < 1, то 2). Если х > 1, то
Примерно так же обстоит дело для любой степенной функции вида у = хr, где -неправильная дробь(числитель больше знаменателя). Ее графиком является кривая (см. приложение 8), похожая на ветвь параболы. Чем больше показатель r, тем “круче” устремлена эта кривая вверх. Свойства функции D(f) = ; не является ни четной, ни нечетной; возрастает на ; не ограничена сверху, ограничена снизу; не имеет наибольшего значения; у наим. = 0; непрерывна; E(f) = ; выпукла вниз. Рассмотрим степенную функцию для случая, когда - правильная дробь . Все рассмотренное в этой главе в отношении функции , или, что то же самое, имеет и отношению к любой степенной функции вида у = хr, где - правильная дробь. График этой функции изображен (см. приложение 9) Свойства функции , где : D(f) = ; не является ни четной, ни нечетной; возрастает на ; не ограничена сверху, ограничена снизу; не имеет наибольшего значения; у наим. = 0; непрерывна; E(f) = ; выпукла вверх. Нам осталось рассмотреть степенную функцию вида . Область ее определения - открытый луч . Выше мы построили график степенной функции y = x - n, где n - натуральное число. При график функции y = x - n похож на ветвь гиперболы. Точно так же дело обстоит для любой степенной функции вида график, которой изображен. Отметим, что график данной функции имеет горизонтальную асимптоту y = 0 и вертикальную асимптоту x = 0. Свойства функции : D(f) = ; не является ни четной, ни нечетной; возрастает на ; не ограничена сверху, ограничена снизу; не имеет ни наибольшего значения, ни наименьшего значения; непрерывна; E(f) = ; выпукла вниз. Функция . Графиком функции является ветвь параболы (см. приложение 10). Свойства функции : D(f) = Возрастает; Ограничена снизу, не ограничена сверху; у наим. = 0, yнаиб. = Не существует; Непрерывна; E(f) = ; Выпукла вверх. 7. Функция . Графиком функции является объединение двух лучей: у = х, х≥0 и у = - х, х≤0 (см. приложение 11). Свойства функции . D(f) = (- + ); Убывает на луче , возрастает на луче ; Ограничена снизу, не ограничена сверху; унаим. = 0, yнаиб. Не существует; Непрерывна; E(f) = ; Выпукла вниз.
Популярное: Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе... Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (333)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |