Построение графиков четной и нечетной функций

Как уже отмечалось, для четной функции y = f(x) во всей области изменения ее аргумента справедливо соотношение f(x) = f(-x). Следовательно, функция такого рода принимает одинаковое значение при всех значениях аргумента, равных по абсолютной величин, но противоположных по знаку. График четной функции симметричен относительно оси ординат.

Для построения графика четной функции y = f(x) следует построить ветвь графика этой функции только в области положительных значений аргумента (х³0). График функции y = f(x) в области отрицательных значений аргумента симметричен построенной ветви относительно оси ординат и получается отражением ее относительно этой оси.

Для нечетной функции y = f(x) в области всех значений аргумента справедливо равенство f(-x) = - f(x). Таким образом, в области отрицательных значений аргумента ординаты графика нечетной функции равны по величин, но противоположны по знаку ординатам графика той же функции при соответствующих положительных значениях х. График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Для построения графика нечетной функции y = f(x) следует построить ветвь графика этой функции только в области положительных значений аргумента (х³0). График функции y = f(x) в области отрицательных значений аргумента симметричен построенной ветви относительно начала координат и может быть получен отражением этой ветви относительно оси ординат с последующим отражением в области отрицательных значений относительно оси абсцисс.

Построение графика обратной функции

Как уже отмечалось, прямая и обратная функции выражают одну и ту же зависимость между переменными х и у, с тем только отличием, что в обратной функции переменные поменялись ролями, что равносильно изменению обозначений осей координат. Поэтому графиком обратной функции симметричен графику прямой функции относительно биссектрисы I и III координатных углов, т.е. относительно прямой y = x. Таким образом, получаем следующее правило.

Для построения графика функции y = j(x), обратной по отношению к функции y = f(x), следует построить график y = f(x) и отразить его относительно прямой y = x.

Деформация

Деформация графика вдоль оси ординат

f(x) => A·f(x)

Рассмотрим функцию вида y = A·f(x), где A>0. Нетрудно заметить, что при равных значениях аргумента ординаты графика этой функции будут в A раз больше ординат графика функции у = f(x) при A>1 или 1/A раз меньше ординат графика функции y = f(x) при A<1. Таким образом, получаем следующее правило.

Для построения графика функции y = A·f(x) следует построить график функции y = f(x) и увеличить его ординаты в A раз при A>1(произвести растяжение графика вдоль оси ординат) или уменьшить его ординаты в 1/A раз при A<1(произвести сжатие графика вдоль оси ординат). Полученный график является графиком функции y = A·f(x).

Деформация графика вдоль оси абсцисс

f(x) => f(ωx).

Пусть требуется построить график функции y = f(ωx), где ω>0. Рассмотрим функцию y = f(x), которая в произвольной точке x = x1 принимает значение y1 = f(x1). Очевидно, что функция y = f(ωx) принимает такое же значение в точке x = x2, координата которой определяется равенством x1 = ωx2, причем это равенство справедливо для совокупности всех значений х из области определения функции. Следовательно, график функции y = f(ωx) оказывается сжатым (при ω<1) или растянутым (при ω>1) вдоль оси абсцисс относительно графика функции y = f(x). Таким образом, получаем правило.

Для построения графика функции y = f(ωx) следует построить график функции y = f(x) и уменьшить его абсциссы в ω раз при ω>1 (произвести сжатие графика вдоль оси абсцисс) или увеличить его абсциссы в 1/ω раз при ω<1 (произвести растяжение графика вдоль оси абсцисс). Полученный график является графиком функции y = f(ωx).

Алгебраические операции над графиками функций

Рассмотрим основные алгебраические действия над функциями и их графиками, такие как сложение и вычитание (y = f(x) ±g(x)), умножение (y = f(x) ·g(x)), деление (y = f(x) / g(x)). При построении такого типа графиков следует учитывать, что область определения функции y является общей частью областей определения каждой из функций f(x) и g(x). Использование изложенных ниже методов построения графиков особенно целесообразно в случае, когда f(x) и g(x) являются элементарными функциями разных типов.

График суммы (разности) функций

y = f(x) ±g(x)

График следует строить по точкам, складывая или вычитая ординаты графиков функций f(x) и g(x), соответствующие одному и тому же значению аргумента (разумеется, сначала строятся графики функций f(x) и g(x)).

При построении графика разности функций обычно не прибегают к вычитанию графиков, а строят сначала график функции - g(x) и затем складывают графики f(x) и - g(x).

График произведения функций

y = f(x) ·g(x).

Для построения графика данной функции надо построить графики функций f(x) и g(x) и перемножить значения ординат, соответствующие одним и тем же значениям аргумента.

График функции вида

Для построения такого графика следует построить график функции y1 = f(x) и, деля, единицу на численные значения ординат этой функции с учетом знака, по точкам построить график данной функции.

При этом областью определения функции у является область определения функции y1 = f(x), за исключением тех значений х, при которых f(x) =0. В этих точках функция y =1/f(x) не определена (как правило, здесь имеются вертикальные асимптоты). При f(x) → ± ∞ у→0, при f(x) = ±1 у=±1 (т.е. значения заданной функции у и функции y1 = f(x) совпадают)