Анализ критического пути с применением стрелочных графов

Приведенная выше методика анализа аналогичным образом может использоваться. и для стрелочных графов. Значения сроков ЕS, ЕF, LS и LF записываются в графе вдоль стрелок, соответствующих операциям:

 

                                                      [ES,EF] A

1 2

 [LS,EF]

Рис. 11. Нанесение на стрелочный граф сроков, соответствующих операциям

Можно провести подобный анализ в терминах сроков наступления каждой события. Производится расчет наиболее раннего срока, к которому может завершиться каждое событие. Этот срок называется наиболее ранним сроком события (earliest event time - ЕЕТ). Общая продолжительность выполнения проекта определяется ЕЕТ конечного узла графа. ЕЕТ исходного события равен нулю.

Для того чтобы выявить критические операции, необходимо, начиная с конца графа, вычислить наиболее поздние сроки событий (1аtest еvent time - LЕТ), к которым события могут закончиться. События, для которых выполняются соотношения

 

LEТ начала- ЕЕTокончания + продолжительность = О        или

ЕЕТначала - LETокончания + продолжительность = О,

являются критическими.

 

Пример 5. Применив ЕЕТ и LЕТ, повторим задачу из примера 4 при условии, что продолжительность выполнения фиктивных операций равна нулю. Решение

В первую очередь для каждого события вычислим значение наиболее раннего срока. Если некоторому событию соответствует более одной операции, появляется проблема выбора соответствующего значения. Поскольку событие считается незавершенным до тех пор, пока не будет завершено выполнение всех составляющих его операций, следует выбрать наибольшее из значений.

Таблица 6. Расчет значений ЕЕТ для примера 5

Узел	ЕЕТ, дней	Комментарии
1 2 3 4     5   6     7     8	0 0+10=10 0+6=6 0+8=8 или 10+0=10* 10+0=10* или 6+0=6   10+8=18 или 10+9=19* 19+14=33* или 6+14=20 33+6=39	Начальное событие ЕЕТ узла 1 + продолжительность операции В ЕЕТ узла 1 + продолжительность операции С ЕЕТ узла 1 + продолжительность операции А. ЕЕТ узла 2 + продолжительность фиктивной операции. Выбирается максимальный срок, т. е. 10 дней ЕЕТ узла 2 + продолжительность фиктивной операции. ЕЕТ узла 3 + продолжительность фиктивной операции. Выбирается максимальный срок, т. е. 10 дней ЕЕТ узла 4 + продолжительность операции D        ЕЕТ узла 5 + продолжительность операции Е. Выбирается максимальный срок, т. е. 19 дней ЕЕТ узла б + продолжительность операции С ЕЕТ узла 3 + продолжительность операции Р. Выбирается максимальный срок, т. е. 33 дня ЕЕТ узла 7 + продолжительность операции Н

*Выбранное значение ЕЕТ

 

Полученные значения сроков наносятся на стрелочный граф, как это показано на рис. 12.

ЕЕТ последнего события равно 39 дням, которые также определяют общую продолжительность выполнения проекта.

Чтобы определить критические операции, будем двигаться по графу начиная с конечного узла и вычисляя LЕТ каждого события. Предположим, что для конечного события ЕЕТ = LЕТ. Если в некоторый узел входит более одной стрелки, то возникает проблема выбора значения LЕТ. Так как событие должно завершиться к сроку, удовлетворяющему всем наиболее поздним срокам начала событий, которые выходят из данного узла для LЕТ, следует выбрать наименьшее значение.

Найденные значения сроков наносятся на стрелочный граф, изображенный на рис. 12.

0

10

                                          4                 - наиболее ранний  - наиболее поздний                                                                                 срок события, срок события

A  8

D 8

10

                                                                                                     (стандартный срок, дней)

                              2      

33

0

B  10

                                

H 6

0

C  6

                  1                 5                 6                 7                 8

0

F  14

                    

6

                                          3

 

 

Рис. 12. Стрелочный граф для примера 5 с указанием ЕЕТ и событий

 

Операция является критической, если для нее справедливы следующие соотношения:

 

ЕЕТначала = LETначала и ЕЕТокончания = LЕТокончания

LEТокончания - EETначала - Продолжительность = 0.

 

Из рисунка 12 видно, что критическими, как и ранее, являются операции В, Е, G и Н. Любые замедления на критическом пути приведут к задержке срока выполнения, всего проекта. Между тем для некритических путей можно допустить некоторые задержки при выполнении составляющих их операций или пересмотреть график их выполнения. Запас времени, который существует в схеме проекта, называется резервом времени.

Различают несколько видов резерва времени, возникающих под влиянием различных воздействий, которые оказывает запас времени на схему выполнения проекта.

Общим резервом называется количество времени, на которое можно увеличить продолжительность операции в результате продления срока ее выполнения или пересмотра плана, не влияющего на продолжительность выполнения проекта в целом. Свободным резервом называется количество времени, на которое можно увеличить продолжительность операции в результате продления срока ее выполнения или пересмотра плана, не оказывающего воздействия на наиболее ранний срок выполнения любой последующей операции. Иногда используют третий вид, так называемый независимый резерв времени. Он не оказывает никакого влияния на предшествующие или последующие операции. Для любой операции

Общий резерв времени = LЕTокончания - ЕЕТначала - Продолжительность, также

Свободный резерв времени = ЕЕТокончания - ЕЕТначала – Продолжительность

Независимый резерв = ЕЕТокончания-LETначала – Продолжительность.

Иногда бывает полезно изобразить на графе имеющийся в наличии резерв времени, особенно если план выполнения операций необходимо пересмотреть. В этом случае одним из возможных методов является график Ганта.

Таблица 7. Расчет значений ЕЕТ для примера 5

Узел	LET,дней	Комментарий
8 7 6 5 4 3     2     1	39 39-6=33 33-14=19 19-9=10 19-8=11 10-0=0* или 33-14=19 10-0=10* или 11-0=11 11-8=3 или 10-10=0* или 10-6=4	Конечный узел LЕТ = ЕЕТ LЕТ узла 8 – продолжительность операции Н LЕТ узла 7 – продолжительность операции G LЕТ узла б – продолжительность операции Е LЕТ узла 6 – продолжительность операции D LЕТ узла 5 – продолжительность фиктивной операции или LЕТ узла 7 – продолжительность операции F. Выбирается минимальный срок, т.е. 10 дней LЕТ узла 5 – продолжительность фиктивной операции или LЕТ узла 4 - продолжительность фиктивной операции Выбирается минимальный срок, т.е. 10 дней LЕТ узла 4 – продолжительность операции А или LЕТ узла 2 продолжительность операции В или LЕТ узла 3 – продолжительность операции С Выбирается минимальный срок, т.е. О дней

*Выбранное значение LЕТ.

Пример 6. По данным примера 5 для каждой операции найдем общий резерв времени.

Операции, общий резерв времени которых равен нулю, являются критическими. На рис. 13 построен график Ганта, и отмечены, возможно наиболее ранние сроки начала операций.

Таблица 8. Расчет резерва времени операций для примера 5 (дней)

операция	LET окончания	LET начала	продолжительность	Общий резерв времени
A B C D E F G H	11 10 10 19 19 33 33 39	0 0 0 10 10 6 19 33	8 10 6 8 9 14 14 6	3 0 4 1 0 13 0 0

Стандартные сроки

Стандартные сроки

С        F  6       20

                                                                             

B        E       G      H 10    19                    33 39

       Операции

 

 

10      20     30     40

                                                                                           Дни

 

 

Рис. 13. График Ганта для примера 5

 

Стоимость проекта

Общая стоимость проекта зависит от стоимости выполнения каждой операция, а также от любых дополнительных переменных или постоянных расходов. Так как необходимо завершить все операции, независимо от того, являются они критическими или нет, общая стоимость выполнения операций представляет собой арифметическую сумму отдельных значений стоимости каждой операции.

Можно снижать продолжительность выполнения некоторых операций с помощью дополнительных ресурсов. Косвенным последствием такой меры является увеличение стоимости данных операций. Однако если операция критическая, то экономия времени ее выполнения может привести к общей экономии времени выполнения проекта в целом, а следовательно, и к снижению общей стоимости проекта.

Возможный наименьший срок, к которому можно завершить операцию, получил название критического срока. В некоторых случаях завершить операцию можно только либо к стандартному, либо к критическому сроку их выполнения, но не между ними. Иногда, напротив, существует возможность постепенно уменьшать время выполнения операции до того момента, пока не будет достигнут критический срок ее выполнения. Рассмотрим, как действует уменьшение времени выполнения операций на календарный план, и стоимость выполнения проекта, принимая во внимание две различные цели:

1. Минимизацию общего времени выполнения проекта;

2. Минимизацию общей стоимости проекта.