Булевы функции от двух переменных

Рассмотрим теперь возможность использования двух выключателей для управления состоянием лампы. Пусть х₁ и х₂ – управляющие переменные (входы) для этих выключателей. Выключатели могут быть соединены последовательно или параллельно, как показано на рис. 4:

Рис. 4 - Две основные функции: а – последовательное соединение (функция логического умножения AND); б – параллельное соединение (функция логического сложения OR)

Последовательное соединение двух выключателей

При последовательном соединении лампа будет светиться только, если оба выключателя включены (одновременно). Это поведение может быть описано выражением: , где L = 1 при х₁ = х₂ = 1,

L = 0 в противном случае.

Символ  называется AND-оператором. Говорят, что схема на рис. 3.4,а реализует логическую AND-функцию (логическое умножение).

Параллельное соединение двух выключателей

При параллельном соединении двух выключателей лампа будет гореть, если выключатели х₁ и х₂ включены. Лампа также будет гореть, если оба выключателя включены (одновременно). Лампа не будет гореть только, если оба выключателя открыты (разомкнуты, выключены). Это поведение может быть описано как:

, где L = 1 при х₁ = 1 или х₂ = 1, или х₁ = х₂ = 1; L = 0 при х₁ = х₂ = 0.

Символ  называется OR-оператором. Говорят, что схема на рис. 4,б реализует логическую OR-функцию(логическое сложение).

В приведенных выше выражениях для AND и OR реализует результат (выход)  есть логическая функция с двумя входными переменными. Функции AND и OR являются двумя наиболее важными логическими функциями. Вместе с некоторыми другими простыми функциями они могут быть использованы как составные части (строительные блоки) для реализации логических схем.

Например, на рис. 5 показано, как три выключателя могут быть использованы для управления лампой в более сложном случае. Такое последовательно-параллельное соединение выключателей реализует логическую функцию:

.

Лампа горит, если х₃ = 1 и одновременно равны 1 либо х₁, либо х₂ (х₁ = 1 или х₂ = 1)

Рис. 5 - Последовательно-параллельное соединение выключателей

Инверсия

Пусть лампа подсоединяется к источнику питания так, как показано на рис. 6:

Рис. 6 - Инвертирующая схема

В этом случае выключатель соединяется параллельно с лампой. Лампа будет гореть, когда выключатель выключен. Формально такое функци- ональное поведение выражается: , где L = 1 при х = 0 и L = 0 при х = 1. Значение этой функции обратно значению входной переменной.

Вместо слова инверсия существует более общий термин отрицание.

Таким образом,  есть отрицание х: . Символ ¯ называют NOT-оператором.

Количество логических функций в зависимости от числа переменных равно . Булевых функций одной переменной – четыре:

Индекс I функциональной переменной f_i, I = 0, 1, 2, 3, равен десятичному эквивалентному набору значений этой функции, читаемому сверху вниз.

Функции f₀(x) и f₃(x) – константы 0 и 1 соответственно. Их значения не зависят от значения переменной х. Функция f₁(x) “ повторяет “ х: f₁(x) = x.

Функция f₂(x) называется отрицанием х (или функцией НЕ) и обозначается , т.е. f₂(x) = . Ее значение противоположно значению х.

Булевых функций двух переменных – шестнадцать:

Индекс I функциональной переменной f_i, I = 0, 1, 2, …, 15, равен десятичному эквивалентному набору значений этой функции, читаемому сверху вниз. Приведем эти булевы функции:

 - константа ноль;

 - конъюнкция;

 х₁ –|→  - левая коимпликация (читается «не если х₁, то х₂», префикс ко – от лат. conversus – обратный);

;

х₁ ←|– х₂ - правая коимпликация;

;

- сложение по модулю два или функция неравнозначности, неэквивалентности;

 - дизъюнкция;

х₁ ◦ х₂ = х₁ ↓ х₂ - функция Вебба(Пирса);

 х₁ ~ х₂ –функция эквивалентности, равнозначности;

 - отрицание х₂;

 - правая импликация (читается « если х₂, то х₁»);

 - отрицание х₁;

 - левая импликация (читается «если х₁, то х₂»);

 - функция Шеффера;

 - константа единица.