Обусловленность вычислительной задачи
Под обусловленностью вычислительной задачи понимают чувствительность ее решения к малым погрешностям ИД. Задача хорошо обусловлена, если малым погрешностям ИД отвечают малые погрешности решения, и плохо обусловленной, если возможны сильные изменения решения. Количественной мерой степени обусловленности задачи является число обусловленности. Сформулируем эти положения точнее: если существует такое положительное число , что имеет место неравенство , то число называетсячислом обусловленности задачи (абсолютным числом обусловленности). При каких значениях задача является плохо обусловленной? Ответ на этот вопрос зависит от конкретной вычислительной задачи. Обычно полагают плохо обусловленными задачами задачи с числом обусловленности, на много превышающим единицу. Пример хорошо и плохо обусловленных вычислительных задач классической корректной задачи , , , , , , и : Т.е. при a = 1 имеем Dx*=1×Db, а при a = 0.001 имеем Dx*=103×Db. Пример Дж. Уилкинсона Рассмотрим задачу о вычислении корней многочлена 20-й степени . В качестве многочлена 20-й степени возьмем простой многочлен . Очевидно, что решение задачи существует и единственно:x1 = 1, x2 = 2, …, x20 = 20. Доказано, что эта задача устойчива относительно возмущения исходных данных (коэффициентов). Т.е. задача корректна. Предположим, что исходные данные — коэффициенты многочлена, содержат погрешности. Рассматриваемая задача плохо обусловлена, если малые погрешности исходные данных приводят к большим погрешностям решения (решение — корни многочлена). Уилкинсон рассмотрел пример, когда коэффициент многочлена при , , содержит малую ошибку: . Вычислим корни возмущенного многочлена высокоточным алгоритмом и посмотрим, как столь незначительная погрешность влияет на значения корней? Т.е. если — решение задачиP(x)=0, a — решение задачиP*(x)=0, погрешность исходных и , то . Задача плохо обусловлена. Видно, что первые шесть корней оказались практически нечувствительными к возмущению исходных данных, их погрешность не превышает ; погрешности последующих корней растут, причем относительные погрешности некоторых корней приближаются к 20%. Пример Дж.Уилкинсона — классический пример плохо обусловленной вычислительной задачи. Степень рассмотренного многочлена довольно велика. Однако плохо обусловленной может быть и задача о вычислении корней многочленов невысоких степеней. Рассмотрим задачу о вычислении корней многочлена 4-й степени и соответствующую возмущенную задачу . (свободный член дан с относительной погрешностью . Корни возмущенного многочлена и , их относительная погрешность — задача плохо обусловлена.
Популярное: Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... Как выбрать специалиста по управлению гостиницей: Понятно, что управление гостиницей невозможно без специальных знаний. Соответственно, важна квалификация... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (658)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |