Постановка задачи численного интегрирования. Формулы прямоугольников, трапеций, Симпсона и их оценка погрешности.

Вычисление интегралов по формулам прямоугольников. Оценка погрешности:

Решение многих технических задач сводится к вычислению определенных интегралов, точное выражение которых сложно, требует длительных вычислений и не всегда оправдано практически. Здесь бывает вполне достаточно их приближенного значения. Например, необходимо вычислить площадь, ограниченную линией, уравнение которой неизвестно, осью х и двумя ординатами. В этом случае можно заменить данную линию более простой, для которой известно уравнение. Площадь полученной таким образом криволинейной трапеции принимается за приближенное значение искомого интеграла. Геометрически идея способа вычислений определенного интеграла по формуле прямоугольников состоит в том, что площадь криволинейной трапеции А₁АВВ₁заменяется площадью равновеликого прямоугольника А₁А₂В₁В₂ , которая по теореме о среднем равна

где f(c) --- высота прямоугольника А₁А₂В₁В₂ , представляющая собой значение подынтегральной функции в некоторой промежуточной точке c(a< c<b).

Практически трудно найти такое значение с, при котором (b-a) f (c) в точности равнялось бы . Для получения более точного значения площадь криволинейной трапеции разбивают на n прямоугольников, высоты которых равны y₀, y₁, y₂, …,y _n-1 и основания .

Если суммировать площади прямоугольников, которые покрывают площадь криволинейной трапеции с недостатком, функция --- неубывающая, то вместо формулы используют формулу

Если с избытком, то

Значения находят из равенств . Эти формулы называются формулами прямоугольников и дают приближенный результат. С увеличением n результат становится более точным.

Вычисление интегралов по формулам трапеций. Оценка погрешности:

Геометрический смысл следующего способа приближенного вычисления интегралов состоит в том, что нахождение площади приблизительно равновеликой «прямолинейной» трапеции.

Пусть необходимо вычислить площадь А₁АmBB₁ криволинейной трапеции, выражаемую формулой .

Заменим дугу AmB хордой AB и вместо площади криволинейной трапеции А₁АmBB₁ вычислим площадь трапеции А₁АBB₁: , где AA₁ и ВВ₁-- основания трапеции, а A₁ В₁ –ее высота.

Обозначим f(a)=A₁A,f(b)=B₁B. высота трапеции A₁B₁=b-a, площадь . Следовательно, или

Это так называемая малая формула трапеций.

Для получения более точного результата необходимо разбить площадь криволинейной трапеции на n площадей ординатами, отстоящими друг от друга на расстоянии . Суммируем площади получившихся трапеций:

где по малой формуле трапеций

Сложив, получим

,

или

,

так как и , то можно записать так называемую большую формулу трапеций: , где y₀,y_1,y_2,..,.y_n ---значения подынтегральной функции при значениях аргумента, соответственно,

Вычисление интегралов по формуле Симпсона:

Это более совершенный способ – график подынтегральной функции приближается не ломаной линией, а маленькими параболами. Сколько промежуточных отрезков – столько и маленьких парабол. Если взять те же три отрезка, то метод Симпсона даст ещё более точное приближение, чем метод прямоугольников или метод трапеций. Задача на вычисление определенного интеграла по формуле Симпсона – самая популярное задание на практике. И методу парабол будет уделено значительное внимание.

Рассмотрим определенный интеграл , где – функция, непрерывная на отрезке . Проведём разбиение отрезка на чётное количество равных отрезков. Чётное количество отрезков обозначают через .

Итак, наше разбиение имеет следующий вид:

Термины аналогичны терминам метода трапеций:
Точки называют узлами.

Формула Симпсона для приближенного вычисления определенного интеграла имеет следующий вид:
где:
– длина каждого из маленьких отрезков или шаг;
– значения подынтегральной функции в точках .

Детализируя это нагромождение, разберу формулу подробнее:
– сумма первого и последнего значения подынтегральной функции;
– сумма членов с чётнымииндексами умножается на 2;
– сумма членов с нечётными индексами умножается на 4.