Метод простой итерации
Рассматривается система линейных алгебраических уравнений Ax = b Для применения итерационных методов система должна быть приведена к эквивалентному виду x=Bx+d. Затем выбирается начальное приближение к решению системы уравнений и находится последовательность приближений к корню. Для сходимости итерационного процесса достаточно, чтобы было выполнено условие (норма матрицы). Критерий окончания итераций зависит от применяемого итерационного метода. Метод Якоби . Самый простой способ приведения системы к виду, удобному для итерации, состоит в следующем: Из первого уравнения системы выразим неизвестное x1, из второго уравнения системы выразимx2, и т. д. В результате получим систему уравнений с матрицей B, в которой на главной диагонали стоят нулевые элементы, а остальные элементы вычисляются по формулам: Компоненты вектора d вычисляются по формулам: Расчетная формула метода простой итерации имеет вид: или в покоординатной форме записи выглядит так: Критерий окончания итераций в методе Якоби имеет вид: Если , то можно применять более простой критерий окончания итераций Пример 1. Решение системы линейных уравнений методом Якоби. Пусть дана система уравнений: Требуется найти решение системы с точностью Приведем систему к виду удобному для итерации: Выберем начальное приближение, например, - вектор правой части. Тогда первая итерация получается так: Аналогично получаются следующие приближения к решению. Найдем норму матрицы B. Будем использовать норму Так как сумма модулей элементов в каждой строке равна 0.2, то , поэтому критерий окончания итераций в этой задаче Вычислим нормы разностей векторов: Так как заданная точность достигнута на четвертой итерации. Ответ: x1 = 1.102, x2 = 0.991, x3 = 1.011 Метод Зейделя .
Покоординатная форма записи метода Зейделя.
Матричная форма записи метода Зейделя. Достаточное условие сходимости МПИ . Достаточное условие сходимости МЗ .
Теорема 1. Пусть рассматривается метод Зейделя . Тогда если , то метод Зейделя сходится при любом начальном приближении и справедливы следующие оценки:
4 3 Следствие 1. Метод Зейделя сходится со скоростью геометрической прогрессии.
Следствие 2. Критерий окончания .
Геометрическая интерпретация метода Зейделя.
Замечание. Метод Зейделя может зациклиться. Итерационные методы решения СЛАУ. Метод последовательной/нижней реалаксации.
Постановка задачи приближения функций. Среднеквадратичное уклонение. Метод наименьших квадратов.
Популярное: Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (247)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |