Содержательное описание моделируемой системы

Билет №1

1)Система – это совокупность элементов, связанных между собой так, что все вместе они образуют некоторую общность (единство).

Системы можно исследовать с различных точек зрения. Большой класс систем, в том числе и систем обработки информации (СОИ), формально представляются системами массового обслуживания (СМО) и сетями СМО. СОИ имеют все характерные черты СМО. В них присутствуют:

1. Потоки однородных событий.

2. Обслуживающие аппараты (ОА), которые выполняют запросы, поступающие от внешних источников.

3. Ограничения на ресурсы, заключающиеся в том, что не все запросы можно начать выполнять сразу в момент их поступления в СМО.

4.Очереди на выполнение запросов.

Для моделирования СМО используют аналитические, имитационные и регрессионные модели. Введем их определения.

Аналитическая модель – это совокупность математических зависимостей, построенных на принципах формального подобия процессов, происходящих в объекте моделирования и его модели.

Имитационная модель – это совокупность операторов алгоритма (программы), в которую можно подставить значения технических характеристик объекта моделирования, параметров внешней среды, времени, начальных значений, имеющихся ограничений и при выполнении имитационной программы в качестве результатов получить значения результативных показателей эффективности.

Регрессионная модель – представляет совокупность математических зависимостей, построенных на основании выявленных статистических зависимостей между переменными методом наименьших квадратов, который требует, чтобы сумма квадратов отклонений экспериментальных значений от вычисленных была минимальной.

2) Для применения метода моментов требуется выполнить следующие действия.

1. На основании физической сущности анализируемого случайного процесса высказывается гипотеза о его подчинении какому-то стандартному статистическому закону. Для выбранного закона, который будем называть гипотетическим, записывается функция плотности и определяется количество параметров гипотетического закона d.

2. По экспериментальным данным вычисляются оценки начальных моментов. Если все случайные значения равновероятны, то используются следующие формулы для вычисления оценок начальных моментов:

,      где s – порядок момента ( ); n – количество реализаций случайной величины.

Оценка математического ожидания (первого начального момента) .                                                 

Оценка второго начального момента                                                .                                                   

Оценки центральных моментов                                                             

Оценка второго центрального момента (дисперсии)                     

Оценка среднего квадратического отклонения (стандартного отклонения) .                                                     

На практике обычно оценку стандартного отклонения вычисляют по оценкам второго и первого начального моментов:                                                                                      .                                               

При количестве случайных чисел n в выборке (частная выборка), стремящемуся к бесконечности (к генеральной совокупности) n→ ∞; оценки начальных моментов стремятся к соответствующим им моментам .

3. Записываем формулы для вычисления моментов по ФП и составляем систему уравнений, решение которой определит значения параметров гипотетического закона. Таким образом, система должна состоять из d уравнений, но в любом случае, если даже d = 1, рекомендуется определять не менее двух первых моментов и их оценок.

4. Оцениваем качество аппроксимации по критериям согласия (КС), среди которых наибольшее применение получили КС c² (Пирсона) и Колмогорова–Смирнова.

Билет №2

1) Основополагающим моментом при выборе метода моделирования являются результаты аппроксимации экспериментальных распределений случайных чисел, описывающих функционирование элементов системы. Естественно, что наиболее целесообразно использовать аналитические модели, не имеющие методической ошибки. Их можно считать законами функционирования элементов моделируемых систем. Недостаток аналитических моделей – сложность их составления. Особенно в случаях, когда законы функционирования элементов системы представляются составными экспоненциальными законами. Кроме того, часто в моделях требуется учитывать различные логические условия, которые невозможно выразить в аналитическом виде.

Имитационное моделирование имеет более общий характер по сравнению с аналитическим и фактически позволяет проводить моделирование любых систем с любыми законами функционирования их элементов. Два существенных недостатка имитационного моделирования:

1. Наличие методической ошибки.

2. Точечный (табличный) характер представления результатов моделирования.

Ущерб от первого недостатка можно снизить проведением планирования экспериментов, цель которого получить результаты с заданной достоверностью при наименьших затратах. Ущерб от второго недостатка можно снизить с помощью обработки результатов моделирования с применением регрессионного анализа, позволяющего получить математические зависимости результативных показателей эффективности функционирования ОМ от влияющих на них факторов и таким образом приблизиться к результатам аналитического моделирования.

Большой класс моделей можно создавать и без описанного ранее математического моделирования. Часто для этого достаточно собранных на натурном объекте статистических данных, отображающих работу исследуемого объекта моделирования за значительный промежуток времени в различных режимах функционирования моделируемой системы. Математическая модель в этом случае может быть построена с помощью регрессионного анализа.

2)       Для решения оптимизационных задач с нелинейными функциями можно использовать метод Ньютона (метод касательных). Метод Ньютона требует, чтобы оптимизируемая функция была дважды дифференцируема. В экстремальной точке производная функции   равна нулю и корень уравнения  можно искать приближённо методом касательных, который заключается в построении последовательных приближённых,  следующим образом. В точке  строится касательная и точка пересечения касательной с осью абсцисс берётся в качестве следующего приближения

             ,          (1)                       

       Вычисления  по формуле (1) продолжают до тех пор, пока не выполнится неравенство , после чего полагают экстремальное значение .

       Замечания:

1. Если начальное приближение  близко к , то метод Ньютона обеспечивает быструю сходимость в поиске экстремума.

2. Если начальное приближение  выбрано не достаточно близко, то для поиска экстремума может потребоваться значительное количество итераций, а в принципе, неудачный выбор  может привести к расходящемуся процессу, т. е. мы будем удаляться от экстремальной точки. Это возможно, в т.ч. если оптимизируемая функция имеет нелинейность выше второй степени.

Билет №3

1) Задачи первого этапа

1. Составляется содержательное описание объекта исследования (ОИ).

2. Выбираются результативные показатели эффективности функционирования ОИ и устанавливается перечень влияющих на них факторов.

3. Проводится постановка задач.

Содержательное описание моделируемой системы

1. При составлении содержательного описания используется основной принцип системного анализа, требующий разбиения системы на подсистемы. Подсистемы могут быть снова представлены подсистемами другого уровня.
И так до тех пор, пока не выходим на уровень подсистем, которые в условиях данного исследования можно считать неделимыми. При этом приходится принимать альтернативное решение. Если провести детальное разбиение системы на подсистемы и элементы, то сравнительно несложно описать поведение элементов системы, но усложняется описание системы в целом. Если же взять сравнительно небольшое количество элементов, то упрощается описание самой системы в целом, но усложняется описание элементов системы.