Вспомогательные задачи.

3.1. Аппроксимация распределений исходных статистических данных стандартными статистическими законами.

3.2. Кластерный анализ, заключающийся в разбиении всей совокупности объектов на кластеры с однородными значениями факторов, что позволяет упростить математические модели кластеров.

3.3. Факторный анализ, заключающийся в выделении из совокупности исходных факторов меньшего количества общих скрытных факторов, которые отображают изменение вероятностного объекта с высокой заданной достоверностью, что позволяет упростить математическую модель объекта.

2) Для применения метода моментов требуется выполнить следующие действия.

1. На основании физической сущности анализируемого случайного процесса высказывается гипотеза о его подчинении какому-то стандартному статистическому закону. Для выбранного закона, который будем называть гипотетическим, записывается функция плотности и определяется количество параметров гипотетического закона d.

2. По экспериментальным данным вычисляются оценки начальных моментов. Если все случайные значения равновероятны, то используются следующие формулы для вычисления оценок начальных моментов:

,      где s – порядок момента ( ); n – количество реализаций случайной величины.

Оценка математического ожидания (первого начального момента) .                                                 

Оценка второго начального момента                                                .                                                   

Оценки центральных моментов                                                             

Оценка второго центрального момента (дисперсии)                     

Оценка среднего квадратического отклонения (стандартного отклонения) .                                                     

На практике обычно оценку стандартного отклонения вычисляют по оценкам второго и первого начального моментов:                                                                                      .                                               

При количестве случайных чисел n в выборке (частная выборка), стремящемуся к бесконечности (к генеральной совокупности) n→ ∞; оценки начальных моментов стремятся к соответствующим им моментам .

3. Записываем формулы для вычисления моментов по ФП и составляем систему уравнений, решение которой определит значения параметров гипотетического закона. Таким образом, система должна состоять из d уравнений, но в любом случае, если даже d = 1, рекомендуется определять не менее двух первых моментов и их оценок.

4. Оцениваем качество аппроксимации по критериям согласия (КС), среди которых наибольшее применение получили КС c² (Пирсона) и Колмогорова–Смирнова.

Билет №4

1) Задача 1. Производится переход от функциональных зависимостей результативных показателей эффективности от влияющих на них факторов к математическим зависимостям.

Задача 2. Количественные характеристики функционирования элементов ОИ, заданные на предыдущем этапе последовательностями случайных чисел, представляются стандартными статистическими законами.

Задача 3. Выбирается метод исследования.

1. Математические зависимости, представленные на первом этапе в функциональ-

ном виде  преобразуются в математические зависимости.  В лучшем случае при переходе от функциональных зависимостей вида к математическим известен закон, т.е. вид математической зависимости результативных показателей эффективности от факторов, и тогда задача сводится только к вычислению коэффициентов этой известной математической зависимости, но чаще всего вид математической зависимости неизвестен. В этом случае рекомендуется использовать для ее представления степенные полиномы. При увеличении степени полинома можно через экспериментальные точки провести математическую зависимость с любой заданной достоверностью.

2. Для представления распределений исходных статистических данных

 стандартными статистическими законами (аппроксимации) наиболее часто применяется метод моментов, основанный на принципе приравнивания оценок моментов, вычисляемых по экспериментальным данным, соответствующим им моментам, определяемым по функции плотности. Параметры аппроксимирующего закона находятся решением составленной системы уравнений. Качество аппроксимации оценивается по значениям критериев согласия.

3. Основополагающим моментом при выборе метода моделирования являются

результаты аппроксимации экспериментальных распределений случайных чисел, описывающих функционирование элементов системы. Естественно, что наиболее целесообразно использовать аналитические модели, не имеющие методической ошибки. Их можно считать законами функционирования моделируемых систем. Если составление аналитической модели невозможно, или представляется весьма сложной задачей, то разрабатывают имитационную модель. Имитационное моделирование имеет более общий характер по сравнению с аналитическим и фактически позволяет проводить моделирование любых систем с любыми законами функционирования их элементов. Имитационное моделирование является численным методом и поэтому имеет методическую ошибку, Ущерб от этого недостатка можно уменьшить применением теории планирования имитационных экспериментов и обработкой результатов моделирования, позволяющих построить математическую модель моделируемого объекта.

2) В графическом виде план по проведению эксперимента представляет собой вершины квадрата,

Вершины квадрата – план полного факторного эксперимента (ПФЭ). Обычно к этим точкам добавляется центральная точка, и пять проводимых экспериментов позволяют вычислить четыре коэффициента двухфакторной математической зависимости:

y = b₀x₀ + b₁x₁ + b₂x₂ + b₁₂x₁x₂.

План полного факторного эксперимента (ПФЭ) позволяет вычислить все коэффициенты степенного полинома, включая коэффициенты как при самих факторах, так и при всех сочетаниях факторов между собой в виде их произведений.

Три замечательных свойства плана ПФЭ:

1. Симметричность. Каждая точка плана имеет симметричные точки относительно осей координат. В математическом плане симметричность сводится
к тому, что построчная сумма элементов всех столбцов плана, кроме левого, равна нулю.

2. Нормированность, которая в математическом плане сводится к тому, что построчная сумма квадратов элементов всех столбцов плана, кроме левого, равна , где m – количество факторов.

3. Ортогональность, которая заключается в независимости факторов друг от друга.

Достоинства:

План полного факторного эксперимента (ПФЭ) позволяет вычислить все коэффициенты степенного полинома, включая коэффициенты как при самих факторах, так и при всех сочетаниях факторов между собой в виде их произведений.

План ПФЭ имеет существенный недостаток, проявляющийся при сравнительно большом количестве факторов, так при m = 3, N = 8; при m = 7, N = 128, а при m = 10, N = 1024, что является неприемлемым.

Билет №5

1) Корреляция – это соотношение (взаимозависимость) случайных величин между собой. В качестве количественной меры оценки взаимосвязи между случайными величинами используется коэффициент линейной корреляции,
вычисляемый для случайных величин х и у по n экспериментальным данным
по следующей формуле.

Если коэффициент линейной корреляции близок к «1», то корреляционная связь между переменными положительная, близкая к линейной (рис. 1). Если коэффициент линейной корреляции близок к «–1», то корреляционная связь между переменными отрицательная, близкая к линейной (рис. 2). Если коэффициент линейной корреляции близок к «0», то между переменными имеется слабая корреляционная связь (рис.3). Для независимых переменных коэффициент линейной корреляции равен нулю.

Рис. 1                                                                 Рис. 2

          Рис. 3

Оценить существенность коэффициента линейной корреляции между случайными переменными по критерию Стьюдента можно при условии, что распределения этих случайных величин подчиняются нормальному закону и что они имеют совместное двумерное нормальное распределение.

 2) Если требуется найти оптимальные значения всего двух факторов, то можно использовать геометрический метод оптимизации, отличающийся сравнительной простотой и наглядностью.

    Для оптимизации геометрическим методом требуется выполнить следующие этапы.

1. Записать постановку задачи, в которую должны входить: целевая функция, ограничения на функции, заданные совокупностью неравенств, ограничения на оптимизируемые аргументы, заданные в виде неравенмтв.

2. Заменить неравенства в ограничениях на функции на равенства.

3. Преобразить полученные равенства в функции аргумента х₂ от аргумента х₁  и провести по ним на координатной плоскости прямые линии.

4. По проведённым линиям ограничениям выявить в каком направлении идёт усиление неравенства (в сторону уменьшения или увеличения аргумента х₂; уменьшения или увеличения аргумента х₁) и построить область допустимых решений (ОДР). Любая координатная точка ОДР должна удовлетворять всем поставленным ограничениям.

5. Целевую функцию приравнять нулю, преобразить полученное равенство в функцию аргумента х₂ от аргумента х₁  и провести по полученной функции на координатной плоскости прямую линию.

6. Направить прямую линию, представляющую целевую функцию, к ОДР и если при этом она будет возрастать, то первая точка её пересечения с ОДР есть точка минимума, а последняя – максимума. При уменьшении целевой функции при движении к ОДР первая точка её пересечения с ОДР есть точка максимума, а последняя – минимума.

7. По целевой функции вычислить её значение в точке минимума и максимума и убедиться, что в точке максимума значение целевой функции больше.

8. Проверить выполнение ограничений в точке минимума и максимума.

          Билет №6

1) Задачи третьего этапа:

1. Разрабатывается алгоритм.                                                    

2. Выбирается язык моделирования.

3. Разрабатывается и отлаживается программа.

4. Организуется ввод в модель случайных последовательностей для имитации функционирования элементов модели.