Методика метода моментов. Пример на равномерный закон.

2. Метод моментов. Равномерный закон.

Суть метода моментов заключается в приравнивании оценок моментов, вычисленных по экспериментальным данным, соответствующим им моментам, вычисленным по функции плотности. Качество представления рекомендуется оценивать по критериям согласия.

Метод моментов для равномерного закона

   Функция плотности равномерного закона:

                                                                 (11.15)

    Вычислим первый и второй начальные моменты:

                                               (11.16)

                                        (11.17)

  Вычислим стандартное отклонение и параметры равномерного закона:

                                                                         (11.18)

                                                                     (11.19)

                                                                      (11.20)

Вычислим вероятность попадания случайной величины в интервалы гистограммы и гипотетическую ФР:

                                           (11.21)

                                         (11.22)

Следует учитывать, что при построении гистограммы принимается:

 ; .

……………………………………………………………………………………………………..

Билет №18

Методология моделирования Основные понятия (определения) моделирования.

Для получения математических моделей можно использовать пассивный или активный эксперименты. Пассивный эксперимент сводится только к наблюдениям за протеканием процесса в объекте исследования и регистрации его характеристик. Активный эксперимент допускает вмешательство в ход процесса и соответственно с этим организацию наблюдений.

Моделирование можно рассматривать как процесс, состоящий из искусства и науки, который основывается на основном принципе диалектического познания природы: «от простого созерцания к абстрактному мышлению и от него к практике». Математический аппарат моделирования основывается на теории вероятностей и математической статистики. Достоверность результатов моделирования обеспечивается соблюдением технологии моделирования СОИ, разработанной для его проведения (рис. 1.3).

ОИ – объект исследования, которым является моделируемая система. На первом этапе производят анализ моделируемой системы и постановку задач. Второй этап – формализация. Следуя по центральной ветви, которая выбирается на втором этапе, если имеющихся данных не достаточно и невозможно осуществить аналитическое моделирование (это активный эксперимент и имитационная модель (АЭИМ)) будем последовательно выполнять следующие этапы. На третьем этапе разрабатывается имитационная модель (РИМ). На четвертом оценивается пригодность модели (ОПМ). На пятом производится планирование эксперимента (ПЭ). На шестом производится статистический анализ (СА). Статистический анализ в зависимости от поставленных задач может включать в себя процедуры оценки однородности статистических данных, регрессионного, факторного и кластерного анализа. На седьмом производится оценка степени влияния факторов (ОСВФ), прогнозирование (ПР) и оптимизация (ОПТ). На втором этапе может быть принято решение, что имеющихся статистических данных достаточно для проведения статистического анализа и построения регрессионной модели. В этом случае идем по стрелочке пассивный эксперимент, регрессионная модель (ПЭРМ). Если же исходных данных об ОИ недостаточно, но есть возможность их получить на натурном образце без построения математической модели идем по стрелочке активный эксперимент, регрессионная модель (АЭРМ).

   Если имеющихся статистических данных о функционировании ОИ недостаточно и имеется возможность создания аналитической модели, то идем по верхней ветке. Это пассивный эксперимент и аналитическая модель (ПЭ АМ). В этом случае выполняются следующие этапы.

На этапе 3^l составляется граф-схема переходов (РГСП) и по ней система уравнений переходов (СУП).

На этапе 4^l  производится построение вероятностных формул (ПВерФ).

На этапе 5^l получают количественные формулы (ПКФ).

На этапе 6^l  получают временные формулы (ПВрФ).

Результаты моделирования возвращаются к ОИ по стрелочке «интерпретация», которая заключается в установлении соответствия между формальной моделью и объектом исследования.

Система – это совокупность элементов, связанных между собой так,
что все вместе они образуют некоторую общность (единство).

Системы можно исследовать с различных точек зрения. Большой класс систем, в том числе и информационных, формально представляются системами массового обслуживания (СМО) и сетями СМО. Информационные системы имеют все характерные черты СМО. В них присутствуют:

1. Потоки однородных событий.

2. Обслуживающие аппараты (ОА), которые выполняют запросы, поступающие от внешних источников.

3. Ограничения на ресурсы, заключающиеся в том, что не все запросы можно начинать выполнять сразу в момент их поступления в СМО.

4. Очереди на выполнение запросов.

Для исследования (моделирования) СМО используют аналитические, имитационные и регрессионные модели. Введем их определения.

Аналитическая модель – это совокупность математических зависимостей, построенных на принципах формального подобия процессов, происходящих в объекте моделирования и его модели.

Имитационная модель – это совокупность операторов алгоритма (программы), в которую можно подставить значения технических характеристик объекта моделирования, параметров внешней среды, времени, начальных условий, имеющихся ограничений и при выполнении имитационной программы в качестве результатов получать значения результативных показателей эффективности.

Регрессионная модель – представляет совокупность математических зависимостей, построенных на основании выявленных статистических зависимостей между переменными методом наименьших квадратов, который требует, чтобы сумма квадратов отклонений экспериментальных значений от вычисленных была минимальной.

План ПФЭ (полного факторного эксперимента).

 Матрицы и вывод формул для двух и трёх факторов.

План полного факторного эксперимента

В графическом виде план по проведению эксперимента представляет собой вершины квадрата,

Вершины квадрата – план полного факторного эксперимента (ПФЭ). Обычно к этим точкам добавляется центральная точка, и пять проводимых экспериментов позволяют вычислить четыре коэффициента двухфакторной математической зависимости:

y = b₀x₀ + b₁x₁ + b₂x₂ + b₁₂x₁x₂.

План полного факторного эксперимента (ПФЭ) позволяет вычислить все коэффициенты степенного полинома, включая коэффициенты как при самих факторах, так и при всех сочетаниях факторов между собой в виде их произведений.

Три замечательных свойства плана ПФЭ:

1. Симметричность. Каждая точка плана имеет симметричные точки относительно осей координат. В математическом плане симметричность сводится
к тому, что построчная сумма элементов всех столбцов плана, кроме левого, равна нулю.

2. Нормированность, которая в математическом плане сводится к тому, что построчная сумма квадратов элементов всех столбцов плана, кроме левого, равна , где m – количество факторов.

3. Ортогональность, которая заключается в независимости факторов друг от друга.

Достоинства:

План полного факторного эксперимента (ПФЭ) позволяет вычислить все коэффициенты степенного полинома, включая коэффициенты как при самих факторах, так и при всех сочетаниях факторов между собой в виде их произведений.

План ПФЭ имеет существенный недостаток, проявляющийся при сравнительно большом количестве факторов, так при m = 3, N = 8; при m = 7, N = 128, а при m = 10, N = 1024, что является неприемлемым.

……………………………………………………………………………………

Билет №19