Разработка алгоритма модели. Выбор языка моделирования

Как правило, алгоритмы представляются в виде блок-схем. Алгоритмы
составляются на основании ГОСТов. В качестве стандартов для программного обеспечения применяется единая система программной документации (ЕСПД).

Выбор языка моделирования проводится на основании анализа алгоритма.

Если в алгоритме превалирующая роль принадлежит вычислительным операциям, или сложным вычислительным процедурам, то рекомендуется выбирать универсальные языки программирования, которые характеризуются высоким качеством трансляторов и наличием специализированных вычислительных процедур. Кроме того, универсальные языки позволяют сравнительно легко создавать открытые системы, характеризующиеся простотой передачи информации между программными компонентами системы.

Если же превалирующее значение в алгоритме имеют логические условия, то рекомендуется выбирать специализированные языки моделирования. Они строятся на допущении, что любую сколь угодно сложную систему можно представить с помощью ограниченного количества абстрактных элементов и таким образом заранее составить библиотеку этих элементов, а работу модели свести к организации упорядоченной последовательности выполнения соответствующих процедур из библиотеки. Специализированные языки хорошо вписываются в предметную область, которая моделируется. Составлять модели на них сравнительно несложно. То же самое относится и к отладке модели. Недостатки специализированных языков в том, что они имеют худшее качество трансляторов, что приводит к увеличению машинного времени моделирования. По сравнению с универсальными языками у них меньшие вычислительные возможности и меньшие возможности по использованию графических средств. Кроме того, на их базе затруднительно создание открытых систем.

Для разработки имитационных программ рекомендуется использовать язык GPSS World (General Purpose Simulation System World – Всемирная общая целевая моделирующая система). GPSS World является реализацией GPSS, общецелевой системы моделирования, улучшенной встроенным языком программирования PLUS – языком программирования низкого уровня моделирования. В последнее время начали применяться системы имитационного моделирования с графическим вводом структур моделируемых систем, таких как: Arena, AnyLogic, ExtendSim.

2) Для применения метода моментов требуется выполнить следующие действия.

1. На основании физической сущности анализируемого случайного процесса высказывается гипотеза о его подчинении какому-то стандартному статистическому закону. Для выбранного закона, который будем называть гипотетическим, записывается функция плотности и определяется количество параметров гипотетического закона d.

2. По экспериментальным данным вычисляются оценки начальных моментов. Если все случайные значения равновероятны, то используются следующие формулы для вычисления оценок начальных моментов:

,      где s – порядок момента ( ); n – количество реализаций случайной величины.

Оценка математического ожидания (первого начального момента) .                                                 

Оценка второго начального момента                                                .                                                   

 

Оценки центральных моментов                                                             

 

                                   

 

Оценка второго центрального момента (дисперсии)                     

 

Оценка среднего квадратического отклонения (стандартного отклонения) .                                                     

 

На практике обычно оценку стандартного отклонения вычисляют по оценкам второго и первого начального моментов:                                                                                      .                                               

При количестве случайных чисел n в выборке (частная выборка), стремящемуся к бесконечности (к генеральной совокупности) n→ ∞; оценки начальных моментов стремятся к соответствующим им моментам .

3. Записываем формулы для вычисления моментов по ФП и составляем систему уравнений, решение которой определит значения параметров гипотетического закона. Таким образом, система должна состоять из d уравнений, но в любом случае, если даже d = 1, рекомендуется определять не менее двух первых моментов и их оценок.

4. Оцениваем качество аппроксимации по критериям согласия (КС), среди которых наибольшее применение получили КС c² (Пирсона) и Колмогорова–Смирнова.

 

             Билет №7

1)        Равномерный закон является самым простым для реализации. Как правило, для генерации случайных чисел по всем другим статистическим законам равномерный закон используется в качестве задающего генератора. При аппаратной реализации используются случайные последовательности, которые вырабатываются специальными генераторами шума. В вычислительных машинах большее распространение получили программные методы генерации случайных чисел, которые вычисляются по формуле и поэтому в принципиальном плане не могут являться случайными. Они называются псевдослучайными. Принято допущение, что если сгенерированные случайные числа вычисляются по специальным формулам, а ведут себя по специальным тестам, как случайные, то их можно использовать в качестве случайных. Отличие псевдослучайных чисел от случайных заключается в том, что, начиная с некоторого времени в них наблюдается периодичность, то есть повторение одних и тех же случайных чисел и это естественно, так как они вычисляются по формуле. В чисто случайных числах этого быть не может. Это является существенным недостатком псевдослучайных чисел, а их достоинством является возможность повторения одних и тех же последовательностей случайных чисел, то есть если задавать одно и то же исходное число для генератора, то генератор каждый раз будет выдавать одни и те же последовательности чисел, что очень важно при проведении имитационного моделирования.

На практике наиболее часто применяют следующие 4 метода генерации случайных чисел:

1.Метод квадратов:

            .                                                                 (14.1)

При возведении в квадрат n-разрядного числа в общем случае максимально в произведении будет 2 n разряда. В качестве i-го случайного числа берется n средних разрядов квадрата предыдущего случайного числа.

2.Метод произведений:

           .                                                         (14.2)

Бреется n средних разрядов произведения двух предыдущих чисел.

3.Конгруэнтный метод:

          .                                                        (14.3)

º – сравнимо по модулю. l и m – целые положительные числа. Для получения очередного случайного числа предыдущее умножается на l и затем делится на m, а остаток от деления берется в качестве i-го случайного числа.

4.Смешанный конгруэнтный метод – улучшает качество случайных чисел и отличается от предыдущего добавлением к произведению целого положительного числа m.

                                                                 (14.4)

Генераторы псевдослучайных чисел современных ЭВМ как правило строятся на основании смешанного конгруэнтного метода. Качество случайных чисел, в том числе длина периода, которая является существенным показателем качества, во многом зависит от выбранных значений l, m,m.

Наиболее часто используют два теста: частот и разрядов. Оценку производят по критерию согласия c² (КС Пирсона).  

Тест частот

Функция распределения равномерно распределенных случайных чисел в диапазоне от 0 до 1 представлена на рис.14.1, а функция плотности на рис.14.2.

      Рис. 14.1. Функция распределения      Рис. 14.2. Функция плотности                             

                        равномерного закона                           равномерного закона

     Функция плотности равномерного закона определяется зависимостью:

                 при 0£ х£ 1;

               f( x)= 0 при x>1.                                              (14.5)

       Для оценки равномерности по тестам частот весь диапазон существования распределения от 0 до 1 разбивают на L интервалов одинаковой длины и подсчитывают попадание случайной величины в каждый из них. Количество случайных чисел – n. Процедура оценки поясняется рис.14.3.

 

Рис. 14.3. Тест частот

 

       Вычисляется критерий согласия c², с количеством степеней свободы R.

                                                  (14.5)

По вычисленным значениям c² и R по статистическим таблицам находим коэффициент доверия гипотезе о равномерности по КС Пирсона, который должен попасть в 10% доверительный интервал 0,1 £Р_р £0,9. В противном случае гипотеза отвергается.

       Тест разрядов

       Для равномерного закона вероятность появления любого символа в любом разряде числа одинакова. Для десятичных чисел она равна 0,1; для двоичных – 0,5. Для проведения тестирования подсчитывается количество каждых символов в каждом разряде числа, то есть их частоты. И аналогично предыдущему вычисляется критерий c² и количество степеней свободы R. А далее проверяем попадание коэффициента доверия гипотезе в 10%-ный доверительный интервал. При отрицательном результате гипотеза отвергается.

2) Для применения метода моментов требуется выполнить следующие действия.

1. На основании физической сущности анализируемого случайного процесса высказывается гипотеза о его подчинении какому-то стандартному статистическому закону. Для выбранного закона, который будем называть гипотетическим, записывается функция плотности и определяется количество параметров гипотетического закона d.

2. По экспериментальным данным вычисляются оценки начальных моментов. Если все случайные значения равновероятны, то используются следующие формулы для вычисления оценок начальных моментов:

,      где s – порядок момента ( ); n – количество реализаций случайной величины.

Оценка математического ожидания (первого начального момента) .                                                 

Оценка второго начального момента                                                .                                               

 

Оценки центральных моментов                                                             

 

                                   

 

Оценка второго центрального момента (дисперсии)                     

 

Оценка среднего квадратического отклонения (стандартного отклонения) .                                                     

 

На практике обычно оценку стандартного отклонения вычисляют по оценкам второго и первого начального моментов:                                                                                      .                                           

При количестве случайных чисел n в выборке (частная выборка), стремящемуся к бесконечности (к генеральной совокупности) n→ ∞; оценки начальных моментов стремятся к соответствующим им моментам .

3. Записываем формулы для вычисления моментов по ФП и составляем систему уравнений, решение которой определит значения параметров гипотетического закона. Таким образом, система должна состоять из d уравнений, но в любом случае, если даже d = 1, рекомендуется определять не менее двух первых моментов и их оценок.

4. Оцениваем качество аппроксимации по критериям согласия (КС), среди которых наибольшее применение получили КС c² (Пирсона) и Колмогорова–Смирнова.

 

    Билет №8

1) ъявляемые к факторам.

    Цель планирования экспериментов – получение результатов с требуемой достоверностью при наименьших затратах. Планирование подразделяется
на стратегическое и тактическое.

 1. Стратегическое планирование - определяет количество проводимых экспериментов, порядок их выполнения и значения изменяемых факторов в каждом эксперименте. Для стратегического планирования будем использовать концепцию «черного ящика».

2. Тактическое планирование - определяет количество реализаций состояния моделируемой системы в проводимых экспериментах для получения результатов моделирования с заданной достоверностью.

Концепция «черного ящика». Суть концепции – абстрагирование от физической сущности процессов, происходящих в моделируемой системе и выдаче заключений о ее функционировании только на основании значений входных и выходных переменных. Входные, независимые переменные называются факторами. Выходные – откликами. Структурная схема «черного ящика» представлена на нижеследующем рисунке.

 

ОИ

                    Х1                                                Y1

                           X2                                               Y2

            Факторы .                             .      Отклики

       .                             .

                           Х_М     .                             .      Y_К

        При использовании концепции черного ящика должны выполняться следующие требования.

1. Рандомизация – случайность. Только при наличии случайности возможно корректное использование математического аппарата теории вероятностей и статистики.

2. Одновременное изменение всех факторов. Обеспечивает уменьшение стандартной ошибки при проведении экспериментов.

3. Последовательность планирования. Проведение экспериментов подразделяется на ряд последовательных этапов, и планирование каждого последующего этапа проводится с учетом результатов, полученных на предыдущих этапах. Уменьшает трудоёмкость.

4. Кодирование. Необязательно. Кодирование значительно упрощает расчеты и делает анализ результатов более наглядным, что весьма существенно при «ручной» обработке результатов.

К факторам предъявляют следующие требования.

1. Факторы должны иметь легкую управляемость, что позволяет повторять проводимые эксперименты.

2. Факторы не должны являться функциями каких-то аргументов.

3. Факторы должны быть хотя бы линейно независимыми между собой, что позволяет упростить математическую модель, не вводя в нее произведения факторов между собой.

4. Любое сочетание факторов в стратегических планах не должно выводить объект из допустимого режима функционирования.

2) Оптимизация решением системы уравнений в частных производных

Рассмотрим двухфакторную математическую зависимость:

   При применении данного метода не должно быть никаких ограничений.

Необходимым условием экстремального значения является равенство нулю частных производных. Экстремальное значение находится решением системы уравнений в частных производных.                                                  

                                                                                                             

  Для частного случая оптимизации двухфакторной функции:

                                                                                              

 

       вид экстремума определяется значением вторых частных производных:

                         

1. Если  и , то имеем максимум.
2. Если  и , то имеем минимум.
3. Если  то «седло», т. е. нет ни минимума, ни максимума.
4. Если , то экстремум может быть или не быть. Требуется дополнительное исследование.

      Билет №9

 

1. План ДФЭ (дробных факторных экспериментов).

 Матрица планирования для 7 факторов. Вывод формул.

2. Методика метода моментов. Пример на эрлан-

говский закон.

 

План дробного факторного эксперимента

В некоторых случаях, если факторы независимы друг от друга, можно значительно уменьшить количество проводимых экспериметов, применяя план дробных факторных экспериментов (ДФЭ). В ДФЭ факторы разделяются на основные и дополнительные. Для основных факторов составляется план ПФЭ, а дополнительные меняются по законам изменения произведений основных факторов. Таким образом, если в эксперименте используется семь факторов, то по плану ПФЭ понадобилось бы провести 128 экспериментов. Если же они независимы друг от друга, то, выделив из них три основных фактора и составив для них план ПФЭ, можно ограничиться всего 8 экспериментами.  Планы ДФЭ сохраняют все названные достоинства планов ПФЭ.

Три замечательных свойства плана ПФЭ:

1. Симметричность. Каждая точка плана имеет симметричные точки относительно осей координат. В математическом плане симметричность сводится
к тому, что построчная сумма элементов всех столбцов плана, кроме левого, равна нулю.

2. Нормированность, которая в математическом плане сводится к тому, что построчная сумма квадратов элементов всех столбцов плана, кроме левого, равна , где m – количество факторов.

3. Ортогональность, которая заключается в независимости факторов друг от друга.

2. Методика метода моментов. Пример на эрланговский закон.

Суть метода моментов заключается в приравнивании оценок моментов, вычисленных по экспериментальным данным, соответствующим им моментам, вычисленным по функции плотности (ФП). Параметры аппроксимирующего закона находятся решением составленной системы уравнений. Качество аппроксимации оценивается по значениям критериев согласия.

Методика. Для применения метода моментов требуется выполнить следующие действия.

1. На основании физической сущности анализируемого случайного процесса высказывается гипотеза о его подчинении какому-то стандартному статистическому закону. Для выбранного закона, который будем называть гипотетическим, записывается функция плотности и определяется количество параметров гипотетического закона d.

2. По экспериментальным данным вычисляются оценки начальных моментов. Если все случайные значения равновероятны, то используются следующие формулы для вычисления оценок начальных моментов:

,      где s – порядок момента ( ); n – количество реализаций случайной величины.

Оценка математического ожидания (первого начального момента) .                                                 

Оценка второго начального момента                                                .                                                   

 

Оценки центральных моментов                                                             

 

                                   

 

Оценка второго центрального момента (дисперсии)                     

 

Оценка среднего квадратического отклонения (стандартного отклонения) .                                                     

 

На практике обычно оценку стандартного отклонения вычисляют по оценкам второго и первого начального моментов:                                                                                      .                                               

При количестве случайных чисел n в выборке (частная выборка), стремящемуся к бесконечности (к генеральной совокупности) n→ ∞; оценки начальных моментов стремятся к соответствующим им моментам .

3. Записываем формулы для вычисления моментов по ФП и составляем систему уравнений, решение которой определит значения параметров гипотетического закона. Таким образом, система должна состоять из d уравнений, но в любом случае, если даже d = 1, рекомендуется определять не менее двух первых моментов и их оценок.

4. Оцениваем качество аппроксимации по критериям согласия (КС), среди которых наибольшее применение получили КС c² (Пирсона) и Колмогорова–Смирнова

 

2) Специальное эрланговское распределение состоит из к последовательно соединенных фаз, в каждой из которых распределение случайных величин подчиняется экспоненциальному закону с одинаковой интенсивностью mк. Структурная схема:

mк     mк             mк

…

 

Закон определяется всего двумя параметрами, которые можно вычислить по упрощенной процедуре:

                               Преобразовав полученные математические выражения и подставив вместо моментов их оценки получим формулы для вычисления параметров специального эрланговского закона.

             

                                                                             

                                                        

      

Функция плотности СЭР представлена на рис. 12.7.

 

Для СЭР ³1, т.к. к>0. Чем больше к, тем меньше отношение  и тем более сжато специальное эрланговское распределение. При к =16 таким распределением можно представить вырожденное распределение, у которого постоянное время задержки.

Область существования специального эрланговского закона представлена на рис.12.8, она расположена ниже экспоненциального закона. Например, при к=2 и m₁=5, σ=3,55.

 

Рис. 12.8. Область существования специального эрланговского закона распределения случайных чисел

 

При к=3 и m₁=10, σ=5,75.

При к=16 и m₁=10, σ=23,5.

 

 

           Билет №10

 

1.  РЦКП (ротатабельный центральный композици-

онный план). Матрица планирования для двух факторов.

2. Применение дисперсионного анализа для оценки

качества уравнений регрессии. Оценка значимости

 коэффициентов полинома.

РЦКП

1. РЦКП обеспечивает незначимую величину ошибки в точках, равноотстоящих от центра проведения экспериментов, поэтому они широко применяются в динамических методах поиска экстремальных значений. Расстояние звёздной точки от центра осей координат и количество проводимых экспериментов в центральной точке вычисляются по формулам:        

 Составим матрицу планирования РЦКП для двух факторов:

 

Композиционные планы ОЦКП и РЦКП имеют существенный недостаток, который начинает сказываться с увеличением количества факторов в проводимых экспериментах, чем больше факторов, тем больше расстояние звёздных точек от центра осей координат, которое всё больше и больше удаляется от заданных границ диапазонов изменения факторов, что является нежелательным.

 

2) Дисперсионный анализ основан на разложении общей изменчивости результативного показателя на объяснённую дисперсию, которую удалось объяснить изменением переменных, вошедших в уравнение регрессии, и остаточную регрессию, которую объяснить не удалось. Для проведения дисперсионного анализа вычисляются.

1. Объяснённая сумма квадратов:

 

                                      

с количеством степеней свободы:

среднее значение суммы квадратов:

                                                               

 

 

2. Остаточная сумма квадратов:

                             

 

 

        

с количеством степеней свободы:

 

среднее значение суммы квадратов:

                                                                   

 

1. Общая сумма квадратов:

      

 

                                                    

с количеством степеней свободы:

Должно выполняться равенство:

 

2. Критерий Фишера

 

 

с количеством степеней свободы:  

 

 

3. Коэффициент множественной детерминации, 

 

 

с количеством степеней свободы:

Показывает, какую часть изменения результативного показателя удалось объяснить изменением переменных, вошедших в уравнение регрессии.

Если вычисленные значения не меньше критических значений, то результаты аппроксимации признаются удовлетворительными.

4. Так как коэффициенты уравнения регрессии вычисляются по случайным величинам, то они и сами являются случайными величинами. Поэтому можно вычислить их стандартные ошибки и по ним определить критерий Стьюдента и уровни их значимости.

 

                                                        

где -диагональный элемент матрицы.

                     чем больше величина , тем лучше.

 

Вычисляем критическое значение критерия Стьюдента . Если вычисленное значение  превышает критическое, то считаем, что уровень значимости  не превышает рекомендуемого значения , и поэтому вычисленные значения коэффициентов приемлемы для отображения экспериментальных данных. В противном случае рекомендуется подобрать другие значения переменных в аппроксимирующее уравнение регрессии, в виде каких-либо функций от аргументов.

 

 

          Билет №11

 

1.  Д – оптимальные планы. Достоинства и недостатки.

2. Аналитическое моделирование. Обозначения СМО.

Модель СМО М/М/1.

11.Д–оптимальные планы В D – оптимальных планах значения факторов не выходят за установленные границы диапазонов их изменения. Кроме того они обладают ещё одним существенным достоинством, обеспечивая минимальную ошибку во всём принятом диапазоне изменения факторов. На практике наиболее часто применяются планы Коно и планы Кифера.

Планы Коно Для многофакторных экспериментов в геометрической интерпретации диапазон изменения факторов представляется многомерным кубом, который далее будем называть просто куб. Для двух факторов этот куб вырождается в квадрат. Эксперименты по плану Коно проводятся в вершинах куба, серединах рёбер и центре куба. Характерной особенностью D – оптимальных планов является разница в количестве проводимых экспериментов для точек плана различного вида. Удельные веса видов точек для двухфакторных экспериментов в планах Коно приняты следующие.

1. Вершины куба - =0.148.

2. Середины ребер - =0.078.

3. Центр куба - =0.096.

Расположение точек стратегического плана на квадрате и кубе представлено на рис.15.3.

 

Рис.15.3. Геометрическая интерпретация двухфакторного плана на квадрате и 

            трёхфакторного – на кубе

 

Планы Кифера

Эксперименты по плану Кифера проводятся в вершинах куба, серединах рёбер и центрах граней. Для двухфакторных экспериментов по плану Кифера приняты следующие удельные веса.

1. Вершины куба - =0.1458.

2. Середины рёбер - =0.08015.

3. Центры граней - =0.0962.

Расположение точек плана для двухфакторных экспериментов представлено на рис.15.4; для трёхфакторных на рис.15.5.

план Кифера, которые позволяют построить математическую зависимость вида:

 

Отметим что для того, чтобы не потерять корректность D – оптимальных планов, чтобы количество реализаций в каждом варианте было целым числом, общее количество проводимых экспериментов для планов Коно требуется брать точно кратным 1000 а для планов Кифера – кратным 10000.

 

Билет №12

 

1. Тактическое планирование имитационных экспери-

ментов.

2. Метод обратной функции и табличный метод

генерации случайных чисел. Достоинства и

недостатки.

 

1. Центральная предельная теорема утверждает, что сумма достаточно большого количества случайных чисел, выработанных при достаточно общих условиях, подчинена нормальному закону вне зависимости от того какому закону подчинены сами случайные числа При этом соблюдается следующее соотношение математического ожидания и среднего квадратического отклонения между введенным и исходным распределением: , а . Поэтому для оценок математических ожиданий, вычисляемых на основе суммирования случайных чисел, можно построить доверительный интервал по нормальному закону.

При выводе формулы для вычисления количества реализаций в эксперименте проведена замена вероятности попадания нормально распределённой случайной величины от минус бесконечности до левой границы доверительного интервала, ввиду симметричности нормального закона, на вероятность попадания от правой границы доверительного интервала до плюс бесконечности, то есть на величину .

Вероятность попадания случайной величины в доверительный интервал вычисляется при следующих преобразованиях:
Вероятность попадания случайной величины в доверительный интервал вычисляется при следующих преобразованиях:

требуется задаться доверительной вероятностью β.

Рекомендуемое значение: β=0,95. По статистическим таблицам находим . Задаёмся половиной ширины доверительного интервала  Принимаем Если условия центральной предельной теоремы теории вероятностей не выполняются, например, если сравнительно невелико количество случайных чисел, или они выработаны при недостаточно общих условиях, например, от весьма различающихся законов или параметров других законов, то применяют нер