Ошибки первого и второго рода (определение, область их проявления, примеры).

Ошибки первого и второго рода - это специфический вид ошибок, как правило, возникающий при определении качества готовой продукции (при приемо-сдаточных испытаниях или разбраковке больших партий готовой продукции). Задача измерений контролируемой величины состоит в этом случае не в получении точного ее значения, а в необходимости определения утвержденного Техническими условиями (ТУ) параметра для которого определены допуски, установленные для данной продукции. Если измеренный параметр укладывается в эти допуски, изделие принято относить к годному, если не укладывается - к браку. Следствием таких ошибок измерений могут быть два результата:

1) хорошее изделие бракуется и 2) бракованное изделие считается годным. В первом случае мы делаем ошибку первого рода, во втором – ошибку второго рода.

Пример: Провести оценку качества (разбраковку) постоянных магнитов по величине индукции на торцевой поверхности. Интервал допустимых значений индукции на поверхности постоянного магнита 110 - 120 мТл. Класс точности измерителя магнитной индукции 1,5. При измерении на пределе 150 мТл абсолютная погрешность D не превышает ±2,3 мТл.

При измерении получена величина 121,8 мТл. Мы бракуем этот магнит, хотя в действительности при данной точности измерений, нормируемая величина может находиться внутри интервала допустимых значений (121,8 – 2,3 = 119,5 мТл). Если мы бракуем годное изделие, мы совершаем ошибку первого рода.

Наоборот, если при той же точности измерений оказалось, что индукция на поверхности постоянного магнита 119,5 мТл., мы признаем этот магнит годным, хотя он мог иметь индукцию на поверхности 119,5 + 2,3 = 121,8 мТл, т.е. должен был считаться браком. В случае, когда годным признается бракованное изделие, мы совершаем ошибку второго рода.

10. Правила сложения систематической и случайной ошибок (написать формулу для доверительной вероятности случайной составляющей α=0,68; 0,95 и 0,997).

1) Если ошибки отдельных измерений определяются случайными ошибками необходимо использовать закон сложения случайных ошибок. Если измеряемая величина Y является суммой (или разностью) двух величин Х₁ и Х₂, а - дисперсии этих величин, то  или

Если известны систематическая D _Х и случайная S_X составляющие абсолютной погрешности измерения физической величины ( - дисперсия измерений), то в качестве верхней границы суммарной ошибки можно принять

. 

Правило 1: Если систематическая погрешность в два и более раз больше, чем случайная , то случайной погрешностью можно пренебречь, т.е. считать, что . Так как D _Х не уменьшается при увеличении количества измерений n достаточно проведение трех - четырех измерений для того, чтобы убедиться, что показания прибора повторяются без случайных отклонений и промахи отсутствуют.

Правило 2: Систематической погрешностью можно пренебречь (т.е. считать, что ) если случайная погрешность, более чем в 2 раза, превышает систематическую ( ). Для уменьшения случайной погрешности S_X необходимо проводить максимально возможное число измерений.

Правило 3: Если обе составляющие общей абсолютной погрешности соизмеримы, то следует их суммировать, пользуясь формулами (22-24) или графически (расчетную формулу необходимо выбирать сообразно с необходимой величиной доверительной вероятности полученного результата, а число измерений необходимо по возможности увеличивать для уменьшения величины случайной погрешности S _Х).

2)

- если мы хотим суммарной ошибке приписать доверительную вероятность a = 0,997 мы должны принять, что D _Х соответствует утроенному значению среднеквадратичной ошибки, а суммарная ошибка находится из соотношения

.                                 (36) 

- если мы хотим суммарной ошибке приписать доверительную вероятность a = 0,95 мы должны принять, что D _Х соответствует удвоенному значению среднеквадратичной ошибки, а суммарная ошибка находится из соотношения

.                               (37)

- если мы хотим суммарной ошибке приписать доверительную вероятность a = 0,68 мы должны принять, что D _Х соответствует значению среднеквадратичной ошибки, а суммарная ошибка находится из соотношения

.                                (38)