Второй способ аппроксимации граничных условий
Назовем совокупность узлов приграничными, а множество узлов – граничными узлами сеточной области. В узлах множества уравнение (2.34) заменим уравнением (2.40), а в узлах множества положим , т. е. в этом случае граничное условие выполнено точно.
Тогда аппроксимация (2.34) в приграничном узле (m,n) берется в виде:
. (2.42)
Здесь – расстояние между узлами (m–1,n) и (m,n). Аналогично поступаем и в остальных приграничных узлах . Узлы множества называют регулярными, а узлы множества – нерегулярными. При этом: . Вывод. При такой аппроксимации граничных условий, порядок сходимости приближенного решения к сеточной функции имеет тот же порядок, что и для прямоугольной области.
3. МЕТОД ПОВЫШЕННОЙ ТОЧНОСТИ В этом разделе познакомимся с методом повышенной точности – экстраполяцией Ричардсона. Изложим схему обоснования повышенной точности экстраполированного решения и приведем численные результаты, иллюстрирующие практическую эффективность алгоритма.
3.1. Экстраполяция Ричардсона Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка (3.1) с начальным условием . (3.2) Предположим, что заданная функция (x) бесконечно дифференцируема на . Для численного решения задачи построим равномерную сетку с шагом , а также введем набор средних точек, который обозначим через . В соответствии со схемой Кранка–Николсона (см. п. 1.5.5) заменим уравнение (3.1) в точках системой алгебраических уравнений, т. е.
(3.3) где
Дополним систему уравнений (3.3) условием
(3.4)
Решением задачи (3.3), (3.4) будет функция , которая приближает функцию (x) со вторым порядком точности, как было показано в п. 1.5.5, , (3.5) где не зависит от . Рассмотрим погрешность решения как разность приближенного решения и сеточной функции в узлах сетки Покажем, что при справедливо разложение
, (3.6)
где – некоторая гладкая функция, определенная на отрезке и не зависящая от , а – функция, определенная в узлах сетки , со значениями порядка . Сначала положим, что разложение (3.6) имеет место. Тогда перепишем его в таком виде . Следовательно, в узлах сетки , будем иметь
(3.7) . (3.8)
Разложим в равенстве (3.7) функции и по формуле Тейлора в окрестности точки с остаточным членом в форме Пеано:
следовательно, и , тогда , и .
Поскольку коэффициенты при h0 и h2 не зависят от h, а остальные слагаемые в левой части предположительно имеют более высокий порядок малости (четвертый), то ввиду произвольности следует выполнение во всех точках сетки соотношений:
(3.9) . (3.10) Аналогично рассуждая относительно (3.1.8), прейдем к тому, что
(3.11)
Формулы (3.9) и (3.10) будем толковать как уравнения, которым должны удовлетворять функции и , а (3.11) как их начальные условия. Отметим, что для функции (x) эти условия выполняются автоматически, поскольку она является решением задачи (3.1), (3.2). Относительно функции (x) получили важную информацию, которой воспользуемся в дальнейшем. Заметим, что благодаря (3.11), (x) – решение дифференциального уравнения (3.12) с начальным условием . (3.13)
Задача (3.12), (3.13) разрешима, и имеет единственное решение:
, (3.14)
которое бесконечное число раз дифференцируемо по на отрезке . При этом построенная функция не зависит от параметра . Сейчас мы покажем способ получения представления (3.14), решения дифференциального уравнения (3.12), с начальным условием (3.13). Сделаем замену в правой части (3.12), тогда
. (3.15)
Решаем однородное обыкновенное дифференциальное уравнение:
,
где – константа, зависящая от переменной . Следовательно, будем иметь
.
Далее, подставляем полученное для выражение вместе с выражением для : в (3.15), тогда и . В правой части сделаем замену переменной x на и проинтегрируем обе части от ноля до , получим , где – константа, не зависящая от ; подставим в выражение для :
,
благодаря тому, что .
Популярное: Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... Личность ребенка как объект и субъект в образовательной технологии: В настоящее время в России идет становление новой системы образования, ориентированного на вхождение... Почему стероиды повышают давление?: Основных причин три... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (221)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |