Что и требовалось доказать.
Теперь покажем, что функция , определенная в узлах сетки соотношением , (3.16)
равномерно ограничена по . Здесь под равномерной ограниченностью подразумевается следующее: . Рассмотрим выражение:
С учетом (3.1), получаем
.
Зафиксируем некоторую точку , и преобразуем правую часть последнего равенства. Сумма первых двух слагаемых равна .
Далее, отметим, что
, ,
тогда, используя разложения по формуле Тейлора в окрестности точки с остаточным членом в форме Лагранжа, имеем следующие представления:
где точки а тогда , (3.17) , (3.18) , (3.19) . (3.20)
В результате применения (3.17), (3.18), (3.19), (3.20) получим
(3.21)
Поскольку любая производная от (x) и (x) непрерывна на (а значит, ограничена), то правая часть (3.21) представляет собой величину, модуль которой ограничен числом , где константа не зависит от и , при этом, Учитывая сказанное, получим соотношение
,
из которого следует неравенство
, (3.22)
так как , следовательно, исходя из (3.1.16)
.
Поэтому из неравенства (3.22) выводится оценка
для любого , так как , то
. (3.23) Тем самым мы показали, что при выполняется равенство
где 1) – гладкая функция, определенная на отрезке и не зависящая от ; 2) – функция, определенная в узлах сетки , со значениями порядка . Изложим теперь метод повышения точности основанной на доказанном разложении. С этой целью построим сетки:
На каждой из них построим соответствующую разностную схему:
(3.24) Пусть функции и – решения, полученные с помощью разностных схем (3.24) (точность каждого из решений является величина порядка ). Составим в узлах сетки линейную комбинацию приближенных решений: (3.25)
и покажем, что функция (x) приближает (x) с точностью четвертого порядка по шагу в узлах сетки . Согласно (3.6) справедливы разложения:
откуда, используя (3.25), следует, что
.
Учитывая оценку (3.23), будем иметь
т. е. . (3.26)
Таким образом, уточненное решение (3.25), построенное при помощи линейной комбинации из приближенных решений задачи (3.1) (с точностью второго порядка относительно шага ), аппроксимирует решение (x) дифференциальной задачи в узлах сетки с порядком . Определение. Построенный подход к получению приближенного решения более высокого порядка точности, на основе приближенных значений сеточных функций меньшего порядка точности, называется методом экстраполяции Ричардсона. Пример (иллюстрация оценки (3.26) – результата численного эксперимента). Рассмотрим дифференциальную задачу первого порядка
решением которой является функция: . Построим сетки , где и соответствующие им разностные схемы . После нахождения с помощью них приближенных решений определим величины . Затем на каждой сетке с шагом составлялась линейная комбинация из двух решений: , и вновь вычислялась величина погрешности .
Получены следующие результаты: 1) величина погрешности не экстраполированных решений равна , ; 2) величина погрешности экстраполированного решения равна .
Вывод. Приведенные численные результаты показывают высокую эффективность экстраполяции Ричардсона в рассматриваемом примере.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ Настоящее пособие включает в себя необходимый теоретический и практический материал по теории разностных схем, предусмотренный программой подготовки специалистов вузов. Большое внимание при изучении следует уделить прикладному характеру раздела математики. Подробное изложение учебного материала, большое количество примеров позволяют студенту самостоятельно освоить некоторые разделы программы курсов «Геометрическое моделирование в САПР» и «Модели и методы анализа проектных решений». Авторы надеются, что овладение теорией разностных схем поможет формированию инженерного мышления будущего специалиста.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 1. Марчук, Г.И. Методы вычислительной математики / Г.И. Марчук – М. : Лань, 2009. – 320 с. 2. Самарский, А.А. Устойчивость разностных схем / А.А. Самарский, А.В. Гулин – М. : Либроком, 2009. – 386 с. 3. Волков, Е.А. Численные методы / Е.А. Волков – М. : Лань, 2004. 4. Бахвалов, Н.С. Численные методы / Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков. – М. : МГУ, 2006. – 636 с. 5. Самарский, А.А. Введение в численные методы / А.А. Самарский. 6. Романко, В.К. Разностные уравнения / В.К. Романко – М. : Бином, 2010. – 112 с.
ОГЛАВЛЕНИЕ ВВЕДЕНИЕ............................................................................................................ 3 1. РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ ДЛЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ..................................................................................................... 4 1.1. Понятие о порядке точности и об аппроксимации............................. 4 1.1.1. Понятие о сетке и сеточной функции........................................ 4 1.1.2 Порядок точности разностной схемы........................................ 6 1.1.3. Порядок аппроксимации разностной схемы.......................... 13 1.1.4. Неустойчивая разностная схема............................................. 14 1.2. Сходимость разностной схемы........................................................... 17 1.2.1. Сходящиеся разностные схемы............................................... 17 1.2.2. Проверка сходимости разностной схемы.............................. 19 1.3. Аппроксимация дифференциальной краевой задачи 1.3.1. Невязка .................................................................................. 20 1.3.2. Вычисление невязки................................................................... 22 1.3.3. Аппроксимация порядка ........................................................ 24 1.4. Определение устойчивости разностной схемы. 1.4.1 Определение устойчивости....................................................... 25 1.4.2. Зависимость между аппроксимацией, 1.5. Достаточный признак устойчивости разностных схем 1.5.1. Вводный пример.......................................................................... 28 1.5.2. Каноническая запись разностной схемы................................ 30 1.5.3. Устойчивость как ограниченность норм степеней 1.5.4. Пример исследования устойчивости...................................... 33 1.5.5. Схема Кранка–Николсона.......................................................... 34 1.6. Необходимый спектральный признак устойчивости....................... 37 1.6.1. Ограниченность норм степеней оператора перехода 1.6.2. Спектральный признак устойчивости...................................... 39 2. РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ 2.1. Уравнения в частных производных и краевые задачи................... 41 2.2. Простейшие приемы построения и исследования разностных схем
2.2.1. Построение сетки для задачи Коши........................................ 43 2.2.2. Различные разностные схемы................................................. 49 2.2.3. Метод неопределенных коэффициентов............................... 54 2.3. Некоторые основные приемы исследования устойчивости.......... 57 2.3.1. Устойчивость по начальным данным...................................... 57 2.3.2. Необходимое спектральное условие устойчивости............. 58 2.3.3. Примеры........................................................................................ 61 2.4. Разностная аппроксимация эллиптических уравнений.................. 65 2.4.1. Задача Дирихле для уравнения Пуассона 2.4.2. Области с криволинейной границей........................................ 69 3. МЕТОД ПОВЫШЕННОЙ ТОЧНОСТИ....................................................... 70 3.1. Экстраполяция Ричардсона................................................................. 70 ЗАКЛЮЧЕНИЕ.................................................................................................... 73 БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК................................................................ 73
Учебное издание
Рукавишников Алексей Викторович Рукавишников Виктор Анатольевич
Популярное: Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... Почему люди поддаются рекламе?: Только не надо искать ответы в качестве или количестве рекламы... Организация как механизм и форма жизни коллектива: Организация не сможет достичь поставленных целей без соответствующей внутренней... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (182)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |