Устойчивость установлена .
1.5.2. Каноническая запись разностной схемы Введем новые обозначения:
, , . (1.48)
Равенства (1.44) (рекуррентные соотношения) запишем, используя (1.48) в виде: (1.49)
тогда представления (1.45), в обозначениях (1.48), имеют вид
(1.45¢) отсюда . (1.50)
Далее, определим нормы
, ,
тогда неравенство (1.50) примет вид:
, (1.51)
следовательно, для того чтобы разностная схема была устойчива, необходимо показать, что , для всех натуральных чисел , где – некоторая положительная постоянная. Вывод. Запись разностной схемы в форме (1.49) позволила свести доказательство устойчивости к получению оценки для . Это удобно. Другие схемы также будем приводить к виду (1.49), который будем называть каноническим, понимая под различные выражения, в каждом конкретном примере свои. Пример. Приведем к виду разностную схему задачи (1.42):
(1.52)
Перепишем разностную схему (1.52) в следующем виде:
где – матрица второго порядка (невырожденная, , ранг равен 2). Придадим этому векторному разностному уравнению вид рекуррентного соотношения:
(1.53)
Если положить , , , то (1.53) приобретет требуемый вид (1.49). Сделаем отступление, а затем вернемся к этому примеру в п. 1.5.4.
1.5.3. Устойчивость как ограниченность норм степеней Сделаем замечание, которое одинаково применимо к уравнениям вида (1.49) независимо от размерности линейного пространства , которому принадлежат векторы и , и от вида линейного оператора : из записи (1.49) следует запись (1.45 ¢ ). Если в пространстве ( , ), введена какая-либо норма , то из равенства (1.45¢) вытекает оценка
(1.54) Определение. Нормой линейного оператора Т, отображающего линейное нормированное пространство в себя , называется число: или .
Отсюда из аксиом нормы элементов линейного пространства (см. п. 1.2.1) следует: а) ; б) , где l – любое число; в) , где m – натуральное число. Задача. Проверить, используя определение нормы линейного оператора T , справедливость свойств а–в.
Первые два из этих свойств использованы для получения оценки (1.54). Из (1.54) вытекает, что
. (1.55) Утверждение. Пусть разностная схема приведена к каноническому виду (1.49), и пусть нормы, введенные в пространствах , и , подобраны так, что выполнены неравенства:
(1.56) Тогда для устойчивости
(1.57)
достаточно, чтобы нормы степеней оператора были (равномерно по ) ограничены, т. е. чтобы выполнялось условие:
.
При этом, в качестве числа С, входящего в определение устойчивости (1.57), можно взять число . Доказательство. Воспользуемся оценками (1.56) в условии утверждения, оценкой (1.55) и определением устойчивости разностной схемы (1.57), тогда будем иметь цепочку неравенств, которая приводит к необходимому результату утверждения
или .
Утверждение доказано. 1.5.4. Пример исследования устойчивости Нормы пространств и определим следующим образом: , . Имеем , , , . Теперь введем норму в пространстве Y, которому принадлежат векторы и : . Нормы пространств , и удовлетворяют условиям (1.56) утверждения предыдущего пункта. Поэтому для проверки устойчивости разностной схемы достаточно показать, что
где – положительная постоянная величина. Заметим, что при выбранной в пространстве норме векторов, норма соответствующего ему линейного (матричного) оператора
задается формулой
, (1.58)
поскольку достигается хотя бы при одном из двух
.
Следовательно,
для всех и устойчивость разностной схемы (1.52) установлена. Важно. .
1.5.5. Схема Кранка–Николсона Рассмотрим задачу , где
(1.59) Введем норму в пространстве (пространстве непрерывно-дифференцируемых до m-го порядка функций на отрезке ):
.
Известно, что если , то решение задачи (1.59) принадлежит классу функций из пространства . Построим сетку с шагом , где N – натуральное число. Введем серединные точки отрезков, соединяющих соседние точки в сетке , их совокупность образует новую сетку, которую обозначим через :
и рассмотрим разностную схему Кранка–Николсона в точках сетки для задачи (1.59):
Покажем, что решение разностной краевой задачи сходится к решению дифференциальной краевой задачи и
,
где константа С > 0 и не зависит от . Необходимо показать: а) (аппроксимация порядка ); б) (устойчивость). Докажем утверждение пункта а:
(1.60)
Разложим и по формуле Тейлора в окрестности точки , с остаточным членом в форме Лагранжа, будем иметь ,
где точки , и , , так как
тогда, подставляя выписанные выше разложения в точках , в (1.60), будем иметь
следовательно, если в пространствах и определены следующим Пункт а доказан. Докажем утверждение пункта б. Сделаем преобразование:
, тогда , , ( ), .
Следовательно, поскольку неравенство справедливо для любого натурального , то , где . Пункт б доказан. Вывод. Доказав пункты а и б, мы установили, что решение разностной краевой задачи (разностной схемы Кранка–Николсона) сходится к решению дифференциальной краевой задачи (1.59) и имеет место сходимость порядка .
1.6. Необходимый спектральный признак устойчивости В предыдущем пункте мы показали, что приведение разностной схемы решения задачи Коши (1.61) к виду (1.62)
может быть использовано для доказательства устойчивости. Если выполнены условия: (1.63) то оценка достаточна для устойчивости (1.62). Здесь мы покажем, что эта оценка при некоторых естественных условиях необходима для устойчивости. Покажем, что, независимо от выбора нормы, для оценки (1.62) необходимо, чтобы спектр матрицы , т. е. совокупность корней уравнения (относительно ) (1.64) лежал в круге (1.65)
где константа С > 0 не зависит от ; Е – единичная матрица.
1.6.1. Ограниченность норм степеней оператора перехода Отметим, что если мы приводим разностную схему (1.61) к виду (1.62) с нулевой правой частью, то значения также равны нeлю. Пусть постоянные и выбраны так, чтобы выполнялись неравенства:
и , (1.66) тогда и , (1.67)
далее, используя (1.66) и (1.67), будем иметь
. (1.68)
Из определения нормы линейного оператора (см. пункт 1.5.3) следует, что всегда из конечномерного пространства можно выбрать такой вектор , чтобы для фиксированной натуральной степени n оператора перехода было справедливо равенство . Поэтому для этого вектора , зависящего от величины , имеет место тождество
(1.69)
и благодаря (1.68), (1.69) и (1.66)
, т. е. . (1.70)
Из оценки (1.70) следует, что в случае устойчивости схемы (1.61) постоянная >0, входящая в определение устойчивости , должна удовлетворять оценке
, т. е. . Вывод. Если нормы , и согласованы так, что выполнены условия (1.66), то условие (1.63) необходимо для устойчивости. Условие (1.63) равносильно тому, что решение однородного уравнения для любого удовлетворяет неравенству
, (1.71)
где – положительная постоянная.
1.6.2. Спектральный признак устойчивости Для оценки можно воспользоваться собственными значениями матрицы , т. е. корнями уравнения . Если – собственное значение матрицы перехода , то существует ненулевой собственный вектор (ненулевой вектор – вектор, у которого хотя бы одна ненулевая компонента), такой, что . Следовательно,
, , . (1.72)
Таким образом, для ограниченности норм степеней оператора перехода необходимо, чтобы были ограничены степени . Для этого все собственные значения должны лежать в круге радиуса : (1.73)
на комплексной плоскости, где С > 0 и не зависит от . Если не выполнено (1.73), т. е. , то для произвольного положительного числа С и некоторого достаточно малого , такого, что (здесь символом означает, что величина чуть меньше 1), справедливо
(использовали разложение по формуле Тейлора в окрестности точки ноль: ), следовательно, будем иметь ,
но константа С может быть сколь угодно большой и при этом . Вывод. Сформулированный признак оценки норм степеней оператора перехода по расположению спектра (1.73) (т. е. совокупности собственных значений) оператора не зависит от выбора нормы в пространстве, где действует оператор . Спектральный признак устойчивости (1.73) не зависит от способа приведения разностной схемы (1.61) к каноническому виду (1.62). Пример. Воспользуемся необходимым спектральным признаком устойчивости (1.73) и докажем, что схема, рассмотренная в подразд. 1.1, действительно неустойчива. В подразд. 1.1 строгого исследования устойчивости не могло быть проведено, хотя бы потому, что там еще не были введены строгие определения сходимости, аппроксимации и устойчивости. Интересующая нас разностная схема приближает дифференциальную задачу первого порядка и имеет вид (1.74)
Положив , приведем схему (1.74) к каноническому виду (1.62): , т. е. . Следовательно, и . Выразив через , имеем , т. е. и . Собственные значения матрицы , , , есть корни квадратного уравнения :
,
следовательно, и при стремится к числу 2, так, что при малых , поэтому нельзя ожидать устойчивости. Важно. Подчеркнем, однако, что расположение спектра оператора внутри круга радиуса : еще не гарантирует устойчивости.
2. РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ В этом разделе проиллюстрируем некоторые основные способы построения разностных схем и проверки их устойчивости для уравнений с частными производными. При этом обнаружится много важных и новых, по сравнению со случаем обыкновенных дифференциальных уравнений, обстоятельств. Главные из них: – разнообразие сеток и способов аппроксимации; – неустойчивость большинства взятых наудачу аппроксимирующих схем; – сложность исследования устойчивости; – трудности вычисления решений разностных краевых задач, требующие специальных усилий для их преодоления.
2.1. Уравнения в частных производных и краевые задачи В общем случае дифференциальное уравнение в частных производных с независимыми переменными можно записать в виде
Напомним, что наивысший порядок k производной от неизвестной функции , входящей в дифференциальное уравнение, называется его порядком. Будем рассматривать только линейные уравнения первого и второго порядка. В общем случае они соответственно записываются в виде (2.1) (2.2)
где – заданные функции, зависящие от переменных . Функции называют коэффициентами уравнения. Функция f, стоящая в правой части уравнения, называется свободным членом. Различают уравнения однородные, когда , и неоднородные в противном случае. В уравнениях, связанных с физикой, независимые переменные часто суть время и пространственные переменные координаты, для их обозначения используют буквы . Примеры. 1. Уравнение колебания струны
. 2. Уравнение Пуассона (2.3) 3. Уравнение Лапласа .
Желая полностью охарактеризовать физическую задачу, мы не можем ограничиться только дифференциальным уравнением; необходимо добавить дополнительные соотношения, которые обычно носят характер так называемых краевых (или граничных) условий. Поясним на примере. Допустим, в теле установилось распределение температур. Если тело однородное и анизотропное, то мы приходим к уравнению (2.3), где – тепловыделение. Одного уравнения (2.3) недостаточно, чтобы однозначно определить распределение температуры в теле , уравнения имеют бесконечно много решений, необходима дополнительная информация. Ее можно получить, например, так. Поверхность (граница) рассмотренного тела доступна для наблюдений, в любой ее точке можно измерить температуру. Пусть температура на равна , тогда получаем дополнительное краевое условие
. (2.4) Уравнение (2.3) при краевом условии (2.4) называют задачей Дирихле или первой краевой задачей. Дополнительная информация для уравнения (2.3) может описываться не только краевым условием (2.4). Так, если известно, что в точке интенсивность теплового потока равна , то
(2.5)
где – вектор внешней нормали к . Задача (2.3), (2.5) называется задачей Неймана или второй краевой задачей. Если для уравнения (2.3) поставлено краевое условие
(2.6)
где – заданная функция, то задачу (2.3), (2.6) называют третьей краевой задачей.
2.2. Простейшие приемы построения и исследования разностных схем для уравнений с частными производными 2.2.1. Построение сетки для задачи Коши Отметим, что определения сходимости, аппроксимации и устойчивости имеют место (ничем не отличающиеся от определений для обыкновенных дифференциальных уравнений) для уравнений с частными производными. Рассмотрим задачу Коши:
(2.7)
Решение ищем в полосе (шириной Т) по временному слою, длина полосы по пространственной переменной бесконечность (не ограниченна). – начальное условие, в момент времени Определение. Задача, в которой решение зависит от времени, называется нестационарной задачей. Пример нестационарной задачи – (2.7). Определение. Задача, в которой решение не зависит от времени, называется стационарной задачей. Пример стационарной задачи – (2.3), (2.4). Далее, запишем задачу (2.7) в следующей форме :
Затем построим сетку в рассматриваемой области (рис. 2.1): числа , где шаг по пространственной переменной , а шаг по временной Рис. 2.1. Сетка в бесконечной полосе
Будем считать, что шаг t связан с шагом h отношением t = rh, где положительная постоянная величина, так что сетка Dh как совокупность узлов зависит только от одного параметра h (см. рис. 2.1). Искомая сеточная функция (таблица) – значения решения u(x,t) дифференциального уравнения с частными производными в точках сетки Dh. Построим разностную схему для задачи (2.7). Для этого заменим частные производные и разностными отношениями в точке (x,t):
,
тогда будем иметь
(2.8)
а в виде :
где – пара функций и , первая задана на двумерной сетке, вторая – на одномерной (в момент времени ). Разностное уравнение (2.8) можно разрешить относительно неизвестной , используя соотношение : (2.9)
т. е., зная значения решения в точках сетки в момент времени , можно вычислить значения в точках сетки в момент времени , где – значения на n-м временном слое. Поскольку известны значения на нулевом слое, т. е. , то мы, можем вычислить значения на 1-м слое, и т. д. мы можем находить значения решения в точках сетки на прямых всюду на Dh. Перейдем к выяснению порядка аппроксимации, которым обладает схема (2.8). За Fh можно принять линейное пространство всех пар ограниченных функций , положив
.
Если или функций не достигается, то имеется в виду их точная верхняя грань: или . Предположим, что решение u(x,t) задачи (2.7) имеет ограниченные вторые производные по x и по t. Тогда, разложив по формуле Тейлора в окрестности точки по переменным и , с остаточными членами в форме Лагранжа, будем иметь
(2.10)
где и – некоторые числа, зависящие от m, n и h и удовлетворяющие неравенствам . С помощью (2.10) выражение
можно переписать так:
а если представить в виде то
следовательно, справедлива оценка для величины невязки:
.
Таким образом, рассматриваемая разностная схема (2.8) имеет первый порядок аппроксимации относительно h, на
Популярное: Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... Организация как механизм и форма жизни коллектива: Организация не сможет достичь поставленных целей без соответствующей внутренней... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (240)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |