Введение в динамику механ. системы. Силы, действующие на т.т. механ. сист. Центр масс. Диф уравнения движения механ.системы. Теория о движении центра масс и ее следствия.

Механическая система-совокупность точек ,в которых потенциальные движения каждой точек зависит от положения движения остальных точек системы.

Механ. система, движение которое неограниченно никакими связями называют Свободным.

Механ. система, движение которое ограниченно наложенными связями называют несвободным.

Механ. действие связи на точки системы выражается силами, которые называются р-ми связями.

Все силы действующие на механическую систему делятся на активную(задаваемые)и р-ии связи

Все силы действующие на механическую систему делятся на внешние и внутренние.

F^e- внешние силы, действующие на точки системы на точки системы МТ, не входящих в нее.

F^i- Внутренние силы взаимодействия между точек данной системы.

Главный вектор-геометрическая сумма всех сил  (F с вектором)

Главный вектор всех внутренних сил и сумма их проекций на координатной оси равна нулю. 

R^i=0;(R с вектором) ;

Главные моменты всех внутренних сил системы относительно центра и относительно координатной осей равны нулю.

Внутренние силы не уравновешиваются т.к приложены к разным точкам механической системы и могут вызывать их перемещение относительно друг друга.(слева)

Каждая точка Mi мех.системы имеет опр.массу и ее положение относительно оси координат x,y,z.

Центром масс системы называется геометр.точка С радиус-вектор которой опр (справа)

Проецируя выражение (1) на оси координат получаем координаты центра масс: (слева)

 

Центр тяжести явл центром масс системы. Но понятие центра масс действительно для любой системы, независимо от того, находится она под действием каких-либо сил или нет. Центр тяжести лишь для системы тел находящихся в однородном поле силе тяжести.

Теорема о движении центра масс. ДУ движения мех.системы.(справа)

Рассмотрим Мi каждой точки равнодействующая внешних сил и равнодействующая внутр.сил приложенных к этой точке. Основное уравнение динамики запишется:

 

Проецируя (1) на оси координат получаем ДУ движения мех.системы

Теорема о движении центра масс.

Просуммируем уравнение (1)

Произведение массы системы на ускорение ее центра масс равно главному вектору внешних сил, действущих на систему.

Теорема: центр масс мех.системы движется как м.т. массой, равной массе всей системе, к которой приложены внешние силы действующей системы. (слева)

Внутренние силы непосредственно не влияют на движение центра масс, однако в ряде случаев они служат причиной появления вн.сил.

Следствия из теоремы:

1) если главный вектор внешних сил остается все время =0, то центр масс находится в покое или движется равномерно и криволинейно.(справа)

2) если проекция главного вектора внешних сил на какую-либо ось=0, то проекция центра масс мех.системы на эту ось или движется неподвижно, или равномерно

7. момент и радиус инерции тв. тела. Теорема Штейнера. Моменты инерции простейших тел.

Мера инерции при вращательном движении тв. тела - момент инерции.

 Момент инерции тв. тела относительно заданной оси- произведение массы тела на квадрат лин. величины, называемой радиусом инерции. 

Теорема о моменте инерции относительно // осей :

Момент инерции тв. тела относительно некоторой оси Z 1 равен моменту инерции // оси Z, проходящей через го центр масс + произведение массы тела на кв. расстояния между осями.

 

Ось, проходящая через центр масс, характерна наименьшему моменту инерции

1) Однородный стержень длиной  l :

                

 

2) однородная круглая пластина малой толщины ( диск )

 ;         

 

3) кольцо, элементарная окружность

   

 

8. теорема об изменении кол-ва движения мех. системы и её следствия

Количество движения мех. с/с – вектор, равный геом. сумме ( гл. вектор) количеств движения всех МТ этой системы.

 

          k=

 

     - производная по времени от количества движения мех. с/с геометрически равна гл. вектору внешних сил, действующих на с/с.

 

 

Следствия:

1) если , то

2)если проекция главного вектора за рассматриваемый промежуток времени равна 0, то проекция количества движения на эту ось остаётся величиной const:   

9. Кинетический момент мех. системы и теорема об его изменении

Кинетический момент (гл. момент кол-ва. движения мех. с/с.) относ. дан. центра называют вектор, равный геометрической сумме моментов кол-в. движения всех точек, входящих в данную систему:

Кинетический моментом или главным моментом кол-ва движения относительно оси – алг. сумма моментов кол-в. движения всех точек системы относительно оси:

 

  Т - производная по времени от кинетического момента мех. с/с относительно некоторой оси алг. равна гл. моменту всех внешних сил, действующих на систему относительно той же оси

 

Произв. по времени от кин. момента мех. с/с относительно некоторого центра геометр. равна главному моменту внешних сил, действующих на систему относительно того же центра

Следствия:

1)

2)

Кинетический момент относительно оси вращения при вращательном движении тв. тела: