II . Методика изучения темы «Признаки равенства треугольников»

II . Методика изучения темы «Признаки равенства треугольников»

УРОК 1. Тема урока «Треугольник. Виды треугольников»…………………….…..8

УРОК 2. Тема урока: «Свойства равнобедренного и равностороннего треугольников» ……………………………………………………………………….11

УРОК 3. Тема урока: «Построение треугольников. Равенство треугольников» ..15

УРОК 4. Тема урока: «Признаки равенства треугольников» ..................................18

УРОК 5. Тема урока: “Решение прикладных задач» ................................................22

УРОК 6. Обобщающий урок по теме «Признаки равенства треугольников»……26

Приложения к урокам………………………………………………………………...30

Перечень использованной литературы……………………………………………...33

 

I . Теоретические сведения по теме «Признаки равенства треугольников»

Признаки равенства треугольников

Первый признак

Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Второй признак

Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Третий признак

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны

 

Справочная таблица.

 

 

Теорема 1 (признак равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними). Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство.

Пусть у треугольников АВС и А₁В₁С₁ Ð А = Ð А₁, АВ=А₁В₁, АС=А₁С₁. Докажем, что треугольники равны, т.е. докажем, что у них и ÐВ=ÐВ₁, ÐС=ÐС₁, ВС=В₁С₁.

По аксиоме существования треугольника, равного данному, существует треугольник А₁В₂С₂, равный треугольнику АВС, у которого вершина В₂ лежит на луче А₁В₁, а вершина С₂ лежит одной полуплоскости с вершиной С₁ относи-тельно прямой А₁В₁. Так как А₁В₁=А₁В₂, то по аксиоме откладывания отрезков точка В₂ совпадает с точкой В₁. Так как ÐВ₁А₁С₁=ÐВ₂А₁С₂, то по аксиоме откладывания углов луч А₁С₂ совпадает с лучом А₁С₁. И так как А₁С₁=А₁С₂, то вершина С₂ совпадает вершиной С₁. Итак, треугольник А₁В₁С₁ совпадает с треугольником А₁В₂С₂, а значит, равен треугольнику АВС. Теорема доказана.

Теорема 2 (признак равенства треугольников по стороне и прилежащим к ней углам). Если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны соответственно стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство.

Пусть АВС и А₁В₁С₁ – два треугольника, у которых Ð А = Ð А₁, ÐВ=ÐВ₁, АВ=А₁В₁. Докажем, то треугольники равны, т.е. докажем, что АС=А₁С₁, ÐС=ÐС₁, ВС=В₁С₁. По аксиоме существования треугольника, равного данному, существует треугольник А₁В₂С₂ равный треугольнику АВС, у которого вершина В₂ лежит на луче А₁В₁, а вершина С₂ лежит в одной полуплоскости вершиной С₁ относительно прямой А₁В₁. Так как А₁В₂=А₁В₁, то вершина В₂ совпадает с вершиной В₁. Так как ÐВ₁А₁С₂=ÐВ₁А₁С₁ и ÐА₁В₁С₂=ÐА₁В₁С₁, то по аксиоме откладывания углов луч А₁С₁ совпадает с лучом А₁С₂, а луч В₁С₁ совпадает с лучом В₁С₂. Отсюда следует, что вершина С₂ совпадает вершиной С₁. Итак, треугольник А₁В₁С₁ совпадает с треугольником А₁В₂С₂, а значит, равен треугольнику АВС. Теорема доказана.

Определение. Треугольник называется равнобедренным, если у него две стороны равны. Эти равные стороны называются боковыми сторонами, а третья сторона называется основанием треугольника.

Теорема 3. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Доказательство.

Пусть АВС – равнобедренный треугольник с основанием АВ. Докажем, что у него ÐА=ÐВ. Треугольник САВ равен треугольнику СВА по первому признаку равенства треугольников. Действительно, СА=В, СВ=СА, ÐС=ÐС. Из равенства треугольников следует, что ÐА=ÐВ. Теорема доказана.

Определение. Треугольник, у которого все стороны равны, называется равносторонним.

Теорема 4. Если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный.

Доказательство.

Пусть АВС – треугольник, в котором ÐА=ÐВ. Докажем, что он равнобедренный с основанием АВ. Треугольник АВС равен треугольнику ВАС по второму признаку равенства треугольников. Действительно, АВ=ВА, ÐВ=ÐА, ÐА=ÐВ. Из равентва треугольников следует, что АС=ВС. Теорема доказана.

Теорема 4 называется обратной теореме 3. Заключение теоремы 3 является условием теоремы 4. А условие теоремы 3 является заключением теоремы 4.

Определение. Высотой треугольника, опущенной из данной вершины, называется перпендикуляр, проведенный из этой вершины к прямой, содержащей противолежащую сторону треугольника.

Определение. Биссектрисой треугольника, проведенной из данной вершины, называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий эту вершину с точкой на противолежащей стороне.

Определение. Мединой треугольника, проведенной из данной вершины, называется отрезок, соединяющий эту вершину с серединой противолежащей стороны треугольника.

Теорема 5. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.

Доказательство.

Пусть АВС – данный равнобедренный треугольник с основанием АВ. Пусть СК – медиана, проведенная к основанию. Треугольники САД и СВД равны по первому признаку равенства треугольников. (У них стороны АС и ВС равны, потому что треугольник АВС равнобедренный. Углы САК и СВК равны по теореме 3. Стороны АК и ВК равны, потому что К – середина отрезка АВ.) Из равенства треугольников следует равенство углов: ÐАСК=ÐВСК, ÐАКС=ÐВКС. Так как углы АКС и ВКС равны, то СК – биссектриса. Так как углы АКС и ВКС смежные и равны, то они прямые, поэтому СК – высота треугольника. Теорема доказана.

Теорема 6 (признак равенства треугольников по трем сторонам). Если три стороны одного треугольника равны соответственно трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство.

Пусть АВС и А₁В₁С₁ два треугольника, у которых АВ=А₁В₁, АС=А₁С_1, ВС=В₁С₁. Докажем, что эти треугольники равны. По аксиоме существования треугольника, равного данному, существует треугольник А₁В₁С₂, равный треугольнику АВС, у которого вершина С₂ лежит в одной полуплоскости с вершиной С₁ относительно прямой А₁В₁. Допустим, что вершина С₁ не лежит ни на луче А₁С₁, ни на луче В₁С₁. Пусть К – середина отрезка С₁С₂. Треугольники А₁С₁С₂ и В₁С₁С₂ – равнобедренные с общим основанием С₁С₂. По теореме 5 их медианы А₁К и В₁К являются высотами. Значит, прямые А₁К и В₁К перпендикулярны прямой С₁С₂. Но это невозможно, так как через точку прямой можно провести только одну перпендикулярную ей прямую. Мы пришли к противоречию. Значит, вершина С₂ лежит либо на луче А₁С₁, либо на луче В₁С₁. В первом случае точка С₂ совпадает с С₁, так как А₁С₁=АС. А это значит, что треугольник АВС равен треугольнику А₁В₁С₁. Точно так же приходим к выводу о равенстве треугольников во втором случае. Теорема доказана.

 

II . Методика изучения темы «Признаки равенства треугольников»

УРОК 1

Тема урока: «Треугольник. Виды треугольников»

Цели урока:

· развить представление о многоугольнике;

· вывести понятие треугольника и его элементов, познакомиться с классификацией треугольников по сторонам и углам;

Из опыта практической деятельности получить вывод о сумме углов треугольника.

Оборудование: слайды для кодоскопа; модели треугольников разных видов; модели тетраэдра; печатные карточки.

Ход урока