ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

5.1. Предварительные сведения. Всюду далее предполагается, что на плоскости задана декартова (прямоугольная) система координат с осями OX, OY и началом координат в точке O(0;0).

Расстояние от произвольной точки  до начала координат задается формулой

                                                                                      (11)

расстояние между точками ,  - формулой

                                .                       (12)

Координаты точки C – середины отрезка [ AB ] – можно найти по формуле

                                 ;                                (13).

Если соединить точки O (0;0) и  направленным отрезком, получим вектор , длина которого задается формулой (11). Если аналогичным образом соединить  и , то получится вектор , длина которого находится по формуле (12).

5.2. Прямая на плоскости. Среди различных уравнений прямой на плоскости наиболее распространенными можно считать следующие.

Общее уравнение прямой на плоскости имеет вид

                       ,                                       (14)

где A, B, C – вещественные числа (неравенство  означает, что коэффициенты A и B не обращаются в нуль одновременно). Вектор  называется вектором нормали и перпендикулярен данной прямой.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом представляет собой уравнение, разрешенное относительно y:

                                                                                                    (15)

Здесь k – угловой коэффициент прямой (тангенс угла, который прямая образует с положительным направление оси OX), а b – ордината точки пересечения прямой с осью OY. Следует заметить, что если k <0, то прямая образует с положительным направлением оси OX тупой угол; если k >0, то угол между прямой и осью OX острый. При k =0 прямая параллельна оси OX. Наконец, для прямой, перпендикулярной оси OX, угловой коэффициент не определен, а ее уравнение имеет вид x = const .

Параметрическое уравнение прямой имеет вид

                                ,                           (16)

где  - точка, лежащая на прямой, а  - направляющий вектор прямой. Из (16) можно получить каноническое уравнение прямой:

                                         .                       (17)

Наконец, при построении прямой очень удобным является уравнение прямой в отрезках записывается в виде

                                            ,                                            (18)

где a и b – соответствующие координаты точек пересечения прямой с осью OX (точка A ( a ;0)) и OY (точка B (0; b )).  Например, прямая  проходит через точки A (1;0) и B (0;-2), а прямая  через точки A (1/3;0) и B (0;1/5); (так как уравнение  равносильно уравнению .

Пример 5.1. Дана прямая . Выписать ее вектор нормали, найти угловой коэффициент, построить прямую на плоскости.

Решение. Сравнивая уравнение данной прямой с (14), замечаем, что в нашем случае  (коэффициент при x),  (коэффициент при y), поэтому .

Чтобы найти угловой коэффициент, исходное уравнение необходимо разрешить относительно y: ; .  Сравнивая с уравнением (15), замечаем, что k=3/5.

Как известно, для построения прямой необходимо знать координаты двух точек, через которые проходит прямая. Одна из них, точка пересечения прямой и оси OY, известна; ее координаты (0;2/5). При  из последнего уравнения получаем, что . Итак, остается провести прямую, проходящую через точки A (0; 2/5), B (1; 1).

Замечание. Для построения прямой можно было привести исходное уравнение к виду «в отрезках»: ; ; ; . Теперь достаточно отложить на оси OX значение «-2/3», а на оси OY значение 2/5, и провести через полученные точки прямую.

Пример 5.2. Прямая задана параметрическим уравнением , . Выписать направляющий вектор данной прямой и координаты двух точек, лежащих на ней, а также координаты ее вектора нормали.

Решение. В соответствии с уравнением (16) , а точка A(-2;0) лежит на прямой. Чтобы найти координаты второй точки, лежащей на прямой, зададим какое-нибудь значение параметра t. В частности, при t=1 , т.е. точка B(-1;-3) принадлежит прямой.

Вектор нормали связан с общим уравнением прямой, а чтобы перейти к нему, необходимо в одном из заданных уравнений выразить t через x, и полученное выражение подставить во второе уравнение. Например, из первого уравнения , следовательно, . Окончательно имеем: ,

5.3. Угол между прямыми. Чтобы найти угол между двумя прямыми, заданными уравнениями с угловым коэффициентом ( , ), необходимо воспользоваться формулой

                                        .                                           (19)

Из (19) вытекают условия параллельности ( )  и перпендикулярности двух прямых ( ).

Пример 5.3. Выбрать из прямых (I) – (V) параллельные и перпендикулярные, определить угол между прямыми (I) и (VI):

(I) ;                  (II) ;                    (III) ;

(IV) ;                (V) ;                   (VI) .

Решение. Сначала для каждой прямой найдем угловой коэффициент:

(I): ;

(II): ;

(III) ;

(IV) ;

(V) ;

(VI) .

Поскольку , , получаем, что прямые (I) и (III), (II) и (V) параллельны. С другой стороны, , а потому прямые (I) и (II) перпендикулярны (следовательно, перпендикулярны и прямые (III) и (II), (I) и (V)). Чтобы найти тангенс угла между прямыми (I) и (VI), воспользуемся формулой (19): . Но тогда .

5.4. Составление уравнений прямых. Рассмотрим основные типы возникающих задач.

1) Записать уравнение прямой с известным угловым коэффициентом , проходящей через заданную точку .

Ответом является уравнение

                                       .                                     (20)

Пример 5.4. Составить уравнение прямой, проходящей через точку A (2,-3) и образующей с положительным направлением оси OX угол 120⁰.

Решение. Координаты точки известны, а угловой коэффициент  - это тангенс угла наклона, т.е. . Подставляя данные в (20), получаем:  или, собрав все в одну сторону равенства, .

2) Записать уравнение прямой, проходящей через заданную точку  параллельно данной прямой .  Для решения используем уравнение (20) и учтем, что угловые коэффициенты параллельных прямых совпадают:

                           .                                         (21)

3) Записать уравнение прямой, проходящей через точку  перпендикулярно прямой . Угловые коэффициенты перпендикулярных прямых связаны соотношением , поэтому . Остается подставить это в (20) и получить уравнение:

      .                                 (22)

Пример 5.5. Составить уравнения прямых, проходящих через точку A (2,-3) параллельно и перпендикулярно прямой .

Решение. Найдем угловой коэффициент данной прямой. Из исходного уравнения  получаем, что . Поэтому . Для прямой, проходящей через A (2,-3) параллельно данной прямой, воспользуемся уравнением (21):  или .

Результат можно проверить, подставив в полученное выражение координаты заданной точки:  (если получили тождество, как в данном примере, уравнение составлено правильно).

Аналогично действуем при составлении уравнения перпендикулярной прямой, только используем (22): , , и окончательно .

4) Записать уравнение прямой, проходящей через две заданные точки , .

Подставив поочередно координаты точек в (15) и решив систему двух уравнений с двумя неизвестными, можно получить уравнение

                               .                                        (23)

Пример 5.6. Написать уравнение прямой, проходящей через точки A (3;4) и B (-1;5).

Решение. Подставляя в (23) координаты данных точек, получаем:

.

Собирая теперь все в одну сторону, приходим к уравнению . Проверить результат можно, подставляя в него координаты точек (как при проверке в примере 5.5). Действительно, , .

Замечание. В некоторых задачах нужно найти точку пересечения заданных прямых. Для этого решается система уравнений, определяющих эти прямые.

Пример 5.7. В треугольнике с вершинами O(0;0), A(3;3), B(-1;5) найти уравнение стороны AB, медианы AE и высоты OK, а также длину высоты OK.

Решение. Уравнения стороны AB получим так же, как при решении примера 5.6:

.

Собирая теперь все в одну сторону, приходим к уравнению .

Далее, по определению медианы треугольника точка E – середина отрезка BO,  поэтому ее координаты можно найти по формуле (13):

, .

Таким образом, теперь надо составить уравнение прямой, проходящей через точки A(3;3) и E (-1/2;5/2). Подставляем их координаты в (23):

Итак, уравнение медианы AE имеет вид .

Далее, высота OK – это прямая, проходящая через вершину O перпендикулярно прямой AB. Воспользуемся уравнением (22). Угловой коэффициент  прямой AB находим из уравнения : , поэтому . Тогда имеем: , и уравнение высоты OK .

Теперь найдем координаты K – точки пересечения построенной высоты и прямой AB. Решаем систему уравнений:

.

Итак, K(9/5; 18/5). В силу (11) .

5.5. Полуплоскости и системы линейных неравенств. Неравенство  определяет полуплоскость, лежащую ниже прямой , неравенство  - полуплоскость, лежащую выше этой прямой. В обоих случаях прямая включается в полуплоскость и на рисунке изображается сплошной линией. Для строгих неравенств прямая в полуплоскость не включается и изображается пунктиром. Решить систему линейных неравенств – значит найти пересечение полуплоскостей, задаваемых каждым из неравенств, а затем определить координаты найти вершин полученной области.

Пример 5.8. Решить графически системы линейных неравенств:

a )                           b ) .

Решение. Сначала надо построить все прямые (рассмотрев соответствующие равенства); затем из каждого неравенства выразить y и определить требуемую полуплоскость; затем найти пересечение полученных полуплоскостей.

В случае a) прямая  проходит через точки (0;1) и (1;0), а фигурирующее в системе неравенство определяет полуплоскость, лежащую выше этой прямой (так как ). Прямая  проходит через начало координат и точку (1;2), соответствующая полуплоскость лежит ниже этой прямой. Наконец, третье неравенство задает полуплоскость, лежащую выше оси OX. Пересечение найденных полуплоскостей изображено на рисунке 5.1. Вершина A образована пересечением прямых  и  и имеет координаты A(1,0); вершина B образована пересечением прямых  и , ее координаты – B(1/3; 2/3).

Рисунок 5.1	Рисунок 5.2.

Случай b) отличается добавленным неравенством . Результат построений изображен на рисунке 5.2 (с.41). В данном случае пересечение всех полуплоскостей – замкнутая область, четырехугольник ABDC . Остается найти координаты вершин. A(1;0) и B(1/3;2/3) уже известны. Точка C – пересечение прямых , , т.е. C(3;0). Аналогично D имеет координаты D(3;6) как точка пересечения прямых , .

5.6. Прямая и плоскость в пространстве. В пространстве уравнение

                         ( )                         (24)

задает плоскость, а прямая определяется как пересечение двух плоскостей:

                                                                      (25)

(плоскости не могут быть параллельны, т.е. коэффициенты A₁, B₁, C₁ не могут быть пропорциональны коэффициентам A₂, B₂, C₂).Ууравнения (25) называются общими уравнениями прямой в пространстве.

Канонические уравнения прямой в пространстве имеют вид

                                              ,                               (26)

а параметрические –

                                      ,                                  (27)

 где, как и ранее,   – точка, лежащая на прямой, а  - направляющий вектор прямой.

Пример 5.9. Написать параметрические, канонические и общие уравнения прямой, проходящей через точки A(-1;2;4) и B(2;5;3).

Решение. В качестве точки, лежащей на плоскости, можно взять любую из заданных; пусть, для определенности, это будет точка A. Направляющим вектором прямой является вектор , координаты которого находятся по правилу, сформулированному в конце п.5.1:

.

Таким образом,  и в силу (27) параметрические уравнения имеют вид .  

Чтобы составить общие уравнения, необходимо из одного из параметрических уравнений выразить t и подставить полученное выражение в оставшиеся уравнения. Например, в данном примере из третьего уравнения получаем t=4- z, и поэтому  или окончательно .

Канонические уравнения выписываем по формуле (26):

.

Замечание 1. При составлениипараметрического уравнения можно было в качестве направляющего вектора взять , а в качестве лежащей на прямой точки – B.

Замечание 2. При составлении канонических уравнений прямой, проходящей через точки A( x_A;y _A;z _A) и B(x _B;y _B;z _B), можно использовать правило

                                                                 (28)

(проверьте, что при применении (28) в примере 5.9 получается тот же самый результат, что и при использовании (26)).

Ряд задач аналитической геометрии решается с помощью систем линейных алгебраических уравнений, вычислений определителей и т.д.

Пример 5.10. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки A(2;3;-1), B(-1; 5;1), C(3; 3; 2).

Решение. Как известно, через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести единственную плоскость. Ее уравнение имеет вид:

.

Подставим в эту формулу координаты наших точек и раскроем определитель по первой строке:

и окончательно:

Замечание. Для проверки достаточно последовательно подставить в полученное уравнение координаты всех точек и убедиться, что каждый раз уравнение превращается в тождество. Например, для точки A(2;3;-1): 12+33+4-47º0.