Задания для самостоятельного решения.

Упражнение 5.1. Найти длины сторон и координаты точек, лежащих на серединах сторон, для треугольника с вершинами:

a) A(2;0), B(4;3), C(3;6);             b) A(2;-1), B(4;3), C(-2;1);

 c) A(-2;4), B(5;-1), C(2;3).

Упражнение 5.2. Найти координаты вершин и длины медиан в треугольнике, стороны которого заданы уравнениями: 

а) , , ; b) , , .

Упражнение 5.3. Найти координаты точки пересечения медиан в треугольнике с вершинами A(-4;2), B(2;-5), C(5;0).

Упражнение 5.4. Написать уравнение прямой, проходящей через заданную точку A и образующей с положительным направлением оси OX угол .

1) A(2;3), ;      2) A(-4;5), ;          3) A(-1;-3), ;

4) A(5;-6), ;   5) A(0;0), ;           6) A(-1;0),

Упражнение 5 . 5 . Написать уравнение прямой, проходящей через заданные точки A и B, выписать ее угловой коэффициент и координаты вектора нормали:

1 ) A(-1;3), B(4;-2)	2 ) A(1;3), B(4;-3)	3 ) A(3;2), B(2;-1)
4 ) A(1;-3), B(-1;5)	5 ) A(2;3), B(2;-2)	6 ) A(4;5), B(-3;5)

Упражнение 5.6. Определить угол между прямыми:

а) ,	d ) ,
b) ,	e) ,
c ) ,	f ) ,

Упражнение 5.7. Найти среди прямых параллельные и перпендикулярные:

1 ) , , ,

2 ) , , ,

3) , , ,

Упражнение 5.8. Написать уравнения прямых, проходящих через заданную точку параллельно и перпендикулярно заданной прямой.

1) A(2;3), ;                 2) A(-1;5), ;

3) A(3;-6), ;                     4) A(-5;-6), ;

5) A(-2;0), ;                     6) A(0;3),

Упражнение 5.9. Найти координаты вершин треугольника, образованного прямыми , , . Построить треугольник, найти тангенсы его углов и координаты точки пересечения высот.

Упражнение 5.10. Привести общие уравнения прямых к уравнениям в отрезках, построить прямые:   

1) ;       2) ;     3) .

Упражнение 5.11. В треугольнике с заданными вершинами найти уравнения сторон и высот, длины медиан и средних линий.

1) A(5;3), B(2;3), C(0;-3)       2) A(-3;7), B(7;1), C(-1;-1).

Упражнение 5.12. Написать параметрическое уравнение прямой, проходящей через указанную точку параллельно заданному вектору, привести уравнение к общему виду:  

1) A(2;3), ;          2) A(-1;5), ;         3) A(-2;3), .

Упражнение 5.13. Решить графически систему линейных неравенств:

1)	2)	3)
4)	5)	6)
7)	8)	9)
10)

Упражнение 5.14. Записать канонические и параметрические уравнения прямой, проходящей через заданную точкупараллельно заданному вектору; привести к общему виду: a) A(4;3;2), ; b) A(-2;-3;1), .

Упражнение 5.15. Записать канонические и параметрические уравнения прямой, проходящей через заданные точки, привести к общему виду:

1) A(-1;2;3), B(2;6;- 1 );           2 ) A(3;-1;4) , B(1;3;2).

Упражнение 5.16. Составить уравнение плоскости, проходящей через три заданных точки:

1) A(-1;2;3), B(2;6;-1), C(1;3;0) ;               2) A(3;-1;4) , B(3;3;2), C(3;2;-1).

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ                                                                                                             3

§ 1. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МАТРИЦ                                                        4

1.1. Предварительные сведения. 4

1.2. Арифметические действия с матрицами. 5

1.3. Элементарные преобразования матриц. 7

1.4. Задания для самостоятельного решения. 9

§ 2. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ КВАДРАТНЫХ МАТРИЦ. ТЕОРЕМА КРАМЕРА 12

2.1. Вычисление определителей. 12

2.2. Приложения определителей к решению систем линейных уравнений. 16

2.3. Задания для самостоятельного решения. 17

§ 3. ОБРАТНЫЕ МАТРИЦЫ                                                                19

3.1. Определения и примеры. 19

3.2. Поиск обратной матрицы с помощью метода Гаусса 19

3.3. Поиск обратной матрицы с помощью алгебраических дополнений к элементам исходной матрицы. 20

3.4. Задания для самостоятельного решения. 22

§ 4. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ                                                                         .................................................................................... ....   24

4.1. Основные обозначения. 24

4.2. Классификация систем линейных алгебраических уравнений. 25

4.3. Алгоритм метода Гаусса. 26

4.4. Метод обратной матрицы. 29

4 .5. Задания для самостоятельного решения. 30

§ 5. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ    32

5.1. Предварительные сведения. 32

5.2. Прямая на плоскости. 32

5.3. Угол между прямыми. 35

5.4. Составление уравнений прямых. 36

5.5. Полуплоскости и системы линейных неравенств. 39

5.6. Прямая и плоскость в пространстве. 41

5.7. Задания для самостоятельного решения. 43