Метод неопределённых коэффициентов.
Если правая часть неоднородного уравнения имеет вид то частное решение существует в виде , где это кратность числа в качестве характеристического корня. Если оно не является корнем, то . Тогда домножение происходит на , то есть фактически, не происходит. Если в правой части нет тригонометрических функций, то всегда может автоматически считаться, что , то есть = . Если отсутствует многочлен, а просто есть экспонента, то можем считать, что многочлен просто равен константе 1, то есть формально он всё равно есть, нулевой степени. Тогда в структуре частного решения записывается «произвольный» многочлен 0 степени, то есть константа А. Для частное решение в виде , если не является характеристическим корнем, либо , если совпадает с каким-то характеристическим корнем кратности . Задача 9. Решить уравнение . методом неопределённых коэффициентов. Решение. Шаг I. Сначала решим однородное уравнение . Характеристическое: , корни 1 и . ФСР: . Общее решение однородного: . Шаг II. Решаем неоднородное. Однородное уже решено: . Ищем частное решение неоднородного по виду правой части. . Число 2 не входит в состав корней левой части, то есть кратность совпадения . Тогда частное решение ищется в виде , т.е. . Тогда , . Подставим их в неоднородное уравнение. частное решение неоднородного . Ответ. .
Задача 10. Решить уравнение . методом неопределённых коэффициентов. Решение. Шаг I. Сначала решим однородное уравнение . Характеристическое: , корни 1 и . ФСР: . Общее решение однородного: . Шаг II. Решаем неоднородное. . Число 1 не входит в состав корней левой части, совпадая с одним из двуз корней, кратность совпадения . Тогда частное решение ищется в виде , т.е. . Тогда , . Подставим их в неоднородное уравнение. частное решение неоднородного уравнения . Ответ. .
Задача 11. Уравнение решить методом неопределённых коэффициентов. Решение. Общее решение однородного: . Правая часть . Экспонента степени 1, и точно такой же характеристический корень есть в левой части, он там кратности 1. Поэтому , то есть в частном решении есть добавочный множитель . А вот вместо многочлена , который был в правой части, надо поставить произвольный многочлен 1 степени, записав его в виде . Итак, . Найдём 1 и 2 производную и подставим в неоднородное уравнение. = . . Итак, из следует , сократим на экспоненту и приведём подобные. , откуда , , из чего следует . Тогда запишем частное решние приэтих значениях неопределённых коэффициентов, и добавим общее решение однородного с 1-го шага. Итак, Ответ. Задача 12. Решить уравнение: методом неопределённых коэффициентов. Решение. Шаг 1. Сначала найдём решение соответствующего однородного уравнения . Характеристическое уравнение , его корни 1 и 4. Их можно было как найти через дискриминант, так и просто заметить, что многочлен представляется в виде . Тогда общее решение однородного уравнения: . Шаг 2. Заметим, что , число 3 не является характеристическим корнем, т.е. экспонента в правой части не совпадает ни с одной из экспонент, присутствующих в решении однородного уравнения. Тогда кратность , то есть дополнительный множитель в частном решении имеет вид , то есть фактически, его не будет. Многочлен нулевой степени, а именно 1, должны заменить на произвольный многочлен той же степени, то есть константу . Итак, структура частного решения будет иметь вид . Если , то легко установить, что , . Подставим их в исходное неоднородное уравнение . Получим , то есть , откуда , . Частное решение . Тогда ответ, то есть общее решение неоднородного уравнения: . Ответ. .
В следующих 2 задачах будем варьировать правую часть по сравнению с прошлой задачей, и посмотрим, чем будет отличаться решение. Пусть там будет или умножение на степенную, или другая степень экспоненты.
Задача 13. Решить уравнение: методом неопределённых коэффициентов. Решение. Характеристическое уравнение , его корни 1 и 4. Общее решение однородного уравнения: . Шаг 2. , где 4 является характеристическим корнем. Тогда . Частное решение ищется в виде . Лишний множитель из-за того, что .
Подставим в неоднородное уравнение.
. Ответ. .
Задача 14. Решить уравнение: методом неопределённых коэффициентов. Решение. Характеристическое уравнение , его корни 1 и 4. Общее решение однородного уравнения: . Шаг 2. , где 3 не является характеристическим корнем, Тогда , Многочлен первой степени должны заменить на произвольный многочлен той же степени, то есть . Итак, структура частного решения будет иметь вид . . = .
. Подставим их в исходное неоднородное уравнение . , там сразу можно сократить на .
система уравнений: , . Частное решение . Тогда ответ, то есть общее решение неоднородного уравнения: . Ответ. .
Популярное: Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... Почему стероиды повышают давление?: Основных причин три... Как выбрать специалиста по управлению гостиницей: Понятно, что управление гостиницей невозможно без специальных знаний. Соответственно, важна квалификация... Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (186)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |