Функции комплексного переменного
Задача 39. Вычислить . Решение. Применяем формулу , где аргумент вместо подставим . Тогда = = . Ответ. . Заметим, что , то есть модули значений косинуса вне действительной оси не ограничены отрезком .
Задача 40. Решить уравнение . Решение. . Введём замену , при этом получаем . Задача разбивается на 2 шага 1) решим это уравнение и найдём , 2) учитывая , запишем и далее найдём . Квадратичное уравнение решаем через дискриминант, здесь , тогда . Оба значения - положительные действительные числа, т.е. им соответствует аргумент . Далее, . Это две бесконечных последовательности точек, одна выше а другая ниже действительной прямой. По горизонтали расстояние между соседними ровно .
Чертёж: Замечание. Если число в правой части уменьшать до 1, то обе эти последовательности сближаются и в итоге соединятся в одну, расположенную на действительной прямой. Это будут в таком случае уже давно знакомые решения равенства , т.е. . Общий случай. Если то , , . Тогда , что при порождает .
В следующей серии задач надо функцию представить в виде , проверить, выполняются ли условия Коши-Римана.
Задача 41. Функцию представить в виде . Решение. = = = = = . Поэтому , . Заметим, что здесь нарушено уже даже 1-е условие Коши-Римана: , . Ответ. , . Задача 42. представить в виде . Решение. = = , . Заметим, что условия Коши-Римана не выполнены, даже 1-е: , . Ответ. , .
Задача 43. представить в виде . Решение. = Раскроем скобки и перегруппируем слагаемые, чтобы сначала шли именно те, в которых нет мнимой единицы , а затем те, в которых она есть. = =
. . Условия Коши-Римана не выполняются, даже 1-е из них: . , они противоположны, а должны совпадать. Ответ. . .
Задача 44. представить в виде . Решение. = = = Далее по формуле Эйлера = = . Проверим выполнение условий Коши-Римана. Они совпадают (1-е условие Коши-Римана). Они противоположны (2-е условие Коши-Римана). Ответ. , . Задача 45. представить в виде . Решение. = = Домножили на сопряжённое, чтобы в знаменателе получилось некое единое действительное число, а разбиение на Re и Im осталось только в числителе. Тогда дробь можно будет разбить на сумму или разность двух дробей. = = ,
, . Ответ. , .
Задача 46. представить в виде . Решение. Если , то = = = далее раскроем по формуле Эйлера: ... = = воспользуемся чётностью косинуса и нечётностью синуса: ... = = = = , это можно ещё записать в таком виде, используя гиперболические синус и косинус: . Ответ. , .
Задача 47. представить в виде . Решение. = = = = , тогда , . Ответ. , .
Задача 48. Для найти . Решение. Способ 1. Производная как от единой функции : = , что в точке равно . Способ 2. По компонентам из предыдущей задачи: = = , в точке означает что в , т.е. данные функции надо вычислить в точке . Тогда = , как и том способе. Ответ. .
Популярное: Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (182)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |