Дифф. уравнения в полных дифференциалах.
Рассмотрим ещё один метод решения дифференциальных уравнений, основанный на использовании потенциала поля. Пусть дано дифференциальное уравнение вида , причем . Тогда это уравнение называется «уравнением в полных дифференциалах». Здесь является потенциальным векторным полем. В этом случае уравнение можно представить в виде , а значит, . Затем остаётся только выразить через . Задача 27. Решить дифференциальное уравнение . Решение. Проверяем тип уравнения. Здесь , . При этом , ведь , . То есть, векторное поле потенциально. Ищем потенциал. Соединяем точки (0,0) и с помощью ломаной, и вычисляем: = = . Итак, . Тогда общее решение дифф. уравнения. Ответ. .
Глава 2. Теория функций комплексного переменного. Действия над комплексными числами. Задача 28. Возвести в степень . Решение. Чертёж:
Катеты имеют длину и , поэтому в полярных коорданатах: , . Тогда в показательной форме, а тогда = = = далее раскроем по формуле Эйлера: , но синус и косинус не зависят от добавления и вычитания полного оборота , поэтому получается = = . Ответ. . Задача 29. Вычислить в показательной форме . Решение. Для 1-го числа: , (та же точка, как в прошлой задаче). Для 2-го числа: , . Тогда = = = = , прибавим , для удобства вычисления. Итак, = . Ответ. . Задача 30. Вычислить . Решение. Представим в показательной форме каждое из чисел.
, и , . Тогда = = = здесь в числителе прибавили угол , кратный , а в знаменателе отняли . Далее, = = = = = = . Ответ. .
Домашняя задача. Вычислить . Ответ.
Задача 31. Вычислить Решение. Формула: . Сначала найдём модуль и аргумент исходного числа. (т.к. 90 градусов и ещё 30 во второй четверти), . Тогда = = таким образом, 4 точки лежат на окружности, углы 300, 1200, 2100, 3000 (по +900 добавить 4 раза). Отмечены на чертеже зелёным. Здесь 4 корня: : = = . : = = . : = = . : = = . Чертёж:
Ответ. и . Задача 32. Дано . Найти . Решение. = = = . Ответ. . Задача 33. Дано . Найти . Решение. = = . Далее с помощью прямоугольного треугольника вычислим . Если надо найти синус и косинус того угла, тангенс которого равен 3, то сначала подпишем длины катетов по известному тангенсу, гипотенуза вычислится автоматом по теореме Пифагора, а далее будет уже известны синус и косинус. = = . Ответ. . Задача 34. Дано . Найти . Решение. = = = . Делаем аналогично тому, как в прошлой задаче, просто треугольник здесь во 2 четверти (угол отмеряется от 180 в обратном направлении).
Но гипотенуза всё равно легко вычисляется по теореме Пифагора: , тогда = . Ответ. . Задача 35. Найти все значения . Решение. Используем формулу . = . Таким образом, это точки в комплексной плоскости, имеющие вид: , , , ... Ответ. .
Задача 36. Вычислить . Решение. = . Последовательность значений такова: каждая соседняя пара отличается на по высоте. Здесь сдвиг вверх всего на четверть деления, а не на половину, как для . Ответ. . Задача 37. Найти все значения . Решение. Используем формулу . Для числа , , . Тогда . Чертёж: бесконечная последовательность точек, на уровне абсциссы , по высоте каждая пара соседних отличается на .
Ответ. . Задача 38. Вычислить . Решение. Представим , расположенную в основании, в виде . Тогда , причём чуть выше мы вычисляли . Тогда = = т.е. получается бесконечное множество точек на действительной оси. Ответ. .
Популярное: Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (292)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |