Восстановление аналитической функции по её действительной или мнимой части.
Сначала возьмём то же самое , что в недавно сделанной задаче 47, и восстановим Задача 49. Дано , . Найти и . Решение. Сначала проверим уравнение Лапласа в сумме 0. Их сумма равна 0. Уравнение Лапласа выполняется. Поэтому данная может являться одной из компонент какой-либо комплексной функции. Далее надо вычислить , найдём её в виде потенциала от её градиента: то есть в виде потенциала векторного поля . Дело в том, что в такой записи можно заменить производные от неизвестной функции на производные от известной функции по условиям Коши-Римана. . А первые производные от уже известны, мы их вычисляли выше в процессе проверки уравнения Лапласа. Как и при вычислении потенциала, в качестве начальной точки как правило, принимаем (0,0) и интегрируем по ломаной. = = = = , а так как начальная точка (0,0) быра взята произвольно, могла быть и иная точка, то надо зхаписать с точностью до константы: . При этом, если дано , то . Итак, . Осталось восстановить функцию . Для этого вспомним, что: , и применим эти выражения в записи . = = = = = = = = Ответ. .
Задача 50. . Найти и . Решение. Проверим уравнение Лапласа. , . Сумма вторых производных равна 0. Ищем = = = = = = . При произвольном выборе начальной точки, , из условия определим константу . Если то , тогда . = = = . Здесь можно даже не пользоваться формулами , , ведь мы уже сумели получить в первой скобке, а во 2-й в обратном порядке и одна с минусом, если домножить и поделить на , то также удастся получить выражение с . = = = = = . Ответ. .
Задача 51. Дано , . Найти и . Решение. Сначала проверим уравнение Лапласа, т.е. что сумма вторых производных равна 0. , . Их сумма равна 0. Уравнение Лапласа выполняется. = = = = = = . Но так как начальная точка была взята произвольно, то надо записать в самом общем виде: . При этом константа должна быть такая, чтобы обеспечивалось равенство , т.е. , т.е. в точке было , таким образом, должно быть . . Итак, . Осталось восстановить функцию . Для этого вспомним, что: , и применим эти выражения в записи . = = = = = = = . Как видим, здесь в процессе преобразований полностью сократилось. Так и должно было быть, ведь Ответ. . Задача 52. . Найти и . Решение. Проверим уравнение Лапласа. , . Сумма вторых производных равна 0. Ищем в виде потенциала от её же градиента. где заменяем производные от неизвестной функции на производные от известной ( ) по условиям Коши-Римана. = = А первые производные от мы уже считали, когда проверяли уравнение Лапласа, их и используем здесь. = = = . Но если бы мы выбрали не (0,0) а другую начальную точку, то могло получиться и выражение с какой-то лишней константой, например если (1,2) то было бы = = . Поэтому мы должны записать самый общий случай: , а затем уже из условия определим константу . Если то , тогда . Итак, . Теперь запишем = и выразим все через в виде , . Если привести подобные, то сократится. = = = = = . Ответ. .
Задача 53. . Найти и . Решение. Сначала проверим уравнение Лапласа. , . Их сумма равна 0, уравнение Лапласа выполняется, - одна из компонент комплексной функции. = = далее по ломаной интеграл вида = = = = . В общем виде, потенциал равен . Условие означает и сводится к . Тогда . Итак, = = . Далее на примере этой задачи мы увидим, что не обязательно использовать выражения , , можно просто сгруппировать слагаемые так, чтобы свернуть их по формуле Эйлера. В выражении надо получить структуру , для этого внутри скобки поделим на а снаружи домножим. = = = = = . Ответ. .
Популярное: Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... Почему стероиды повышают давление?: Основных причин три... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (274)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |