Числовые характеристики двумерного случайного вектора

54.1. Пусть случайные величины  и  имеют совместную плотность вероятности  и  - функция двух переменных. Тогда  - случайная величина, полученная подстановкой случайных величин  и  вместо аргументов  и .

Математическим ожиданием случайной величины  называется число

     .                    (54.1)

Если , , тогда из (54.1) следует

    , ,  .         (54.2)

Числа  называются начальными смешанными моментами порядка  случайных величин  и . Эти числа применяются в качестве статистических характеристик двумерного случайного вектора. Рассмотрим частные случаи (54.2). 1). , тогда  - начальный момент порядка  случайной величины . При дополнительном условии  получаем  - математическое ожидание случайной величины , при  -  - среднее ее квадрата и т.д. Таким образом, при  смешанные моменты (54.2) совпадают с начальными моментами случайной величины . 2). Если положить , тогда  - смешанные моменты совпадают с начальными моментами случайной величины . В обоих случаях получаем индивидуальные характеристики одной из случайных величин. 3). Для получения групповой характеристики (54.2), отражающей свойства совокупности двух случайных величин, необходимо рассмотреть ненулевые . Наиболее простой вариант: , . При этом из (54.2) следует

    .                               (54.3)

Число  называется корреляцией случайных величин  и  и представляет собой важнейшую характеристику совокупности двух случайных величин.

Если  и  - независимы, то  и (54.3) преобразуются следующим образом:

,             (54.4)

где  и . При этом  выражается через индивидуальные характеристики  и , т.е. каких-либо групповых эффектов в  не проявляется, что является следствием независимости случайных величин  и . Из цепочки преобразований (54.4) следует равенство  - математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий.

54.2. Аналогично (54.2) числа

        (54.5)

называются центральными смешанными моментами, порядка . Наиболее важной групповой характеристикой двух случайных величин среди чисел (54.5) является ковариация

    , (54.6)

которая является центральным смешанным моментом порядка . Для ковариации используется также обозначение: . Если , то  - совпадает с дисперсией случайной величины .

Если  и  - независимы, то из (54.6) следует, что ковариация

.

Обратное утверждение в общем случае неверно, т.е. из равенства  в общем не следует независимость случайных величин  и . В частности, обратное утверждение справедливо, если  и  - гауссовы случайные величины. Более подробно этот вопрос обсуждается ниже.

54.3. Найдем связь между корреляцией  и ковариацией  случайных величин  и . Из определения ковариации (54.6) следует

.

Таким образом, ковариация  и корреляция  связаны соотношением

    .                                        (54.7)