Хи - квадрат распределение и распределение Максвелла по скоростям

Распределение Максвелла по скоростям молекул газа представляет собой плотность распределения вероятностей модуля скорости  и определяется соотношением

    ,                        (68.1)

где - число молекул газа,  число молекул, модуль скорости которых лежит в интервале ,  - газовая постоянная,  - абсолютная температура газа. Отношение  - это вероятность того, что модуль скорости молекулы лежит в интервале , тогда  - плотность вероятности модуля скорости.

Распределение (68.1) может быть получено на основе следующих двух простых вероятностных положений, задающих модель идеального газа. 1). Проекции  скорости на оси  декартовой системы координат являются независимыми случайными величинами. 2). Каждая проекция скорости  - гауссова случайная величина с нулевым математическим ожиданием и дисперсией . Параметр  задается на основе экспериментальных данных.

Определим плотность вероятности случайной величины

    .                                 (68.2)

Очевидно,  имеет хи - квадрат распределение с тремя степенями свободы. Поэтому ее плотность вероятности  определяется формулой (67.11) при :

    , ,                            (68.3)

поскольку . Итак,  (68.3) - это плотность вероятности квадрата относительной скорости .

Следующий шаг состоит в переходе от распределения квадрата скорости  к распределению ее модуля , . Функциональное преобразование имеет вид: , а обратное , для , . Таким образом, обратное преобразование однозначное. Поэтому по (65.1) плотность распределения модуля  имеет вид

    .       (68.4)

Последний шаг состоит в переходе от случайной величины  к новой случайной величине

    .                                          (68.5)

Обратное преобразование  - однозначное, поэтому плотность вероятности  случайной величины , согласно (65.1) принимает вид

    , , (68.6)

что и совпадает с формулой (68.1).

Соотношение (68.5), определяющее связь относительной и абсолютной скоростей  и , следует из третьего положения модели идеального газа, которое является чисто физическим условием, в отличие от первых двух вероятностных условий. Третье условие может быть сформулировано как утверждение относительно значения  средней кинетической энергии одной молекулы в виде равенства

    ,                                   (68.7)

где  - постоянная Больцмана и представляет, по сути, экспериментальный факт. Пусть , где  - постоянная, которая далее определяется условием (68.7). Для нахождения  определим из (68.4) среднее квадрата относительной скорости:

    .                                (68.8)

Тогда средняя кинетическая энергия молекулы , где  - масса молекулы, и с учетом (68.7) , или .

Литература

1. Вентцель Е.С. Теория вероятностей: Учебник для вузов. М.: Высшая школа, 1999. - 575с.

2. Коваленко И.Н., Филиппова А.А. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Высшая школа, 1973. - 368с.

3. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей и ее инженерные приложения М.: Высшая школа, 2000. - 480с.

4. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Высшая школа, 1999. - 479с.

5. Пытьев Ю.П., Шишмарев И.А. Курс теории вероятностей и математической статистики для физиков. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1983. - 256с.

6. Пугачев В.С. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Наука, 1979. - 496с.

7. Колемаев В.А., Староверов О.В., Турундаевский В.Б. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Высшая школа, 1991. - 400с.

8. Фигурин В.А., Оболонкин В.В. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Новое знание, 2000. - 206с.

9. Чистяков В.П. Курс теории вероятностей. М.: Наука, 1982. - 256с.

10. Боровков А.А. Теория вероятностей. М.: Наука, 1976. - 352с.

11. Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: ЮНИТИ, 2000. - 543с.