Надёжность системы с восстановлением

 

Восстанавливаемую систему целесообразно рассматривать как систему массового обслуживания, в которой поток заявок на обслуживание представляет собой поток отказов аппаратуры. Каналами обслуживания являются ремонтные бригады, восстанавливающие работоспособность аппаратуры.

Будем считать, что поток заявок на обслуживание - пуассоновский.

Поток восстановлений - также пуассоновский.

В этом случае для анализа надёжности восстанавливаемой системы можно использовать теорию марковских случайных процессов.

Имеем нерезервированную восстанавливаемую систему, состоящую из одного элемента. Система находится под действием пуассоновского потока отказов с интенсивностью l. После отказа система начинает немедленно восстанавливаться (ремонтироваться). Поток восстановлений - пуассоновский с интенсивностью m.

В любой момент времени система может находиться в одном из двух состояний:

- состояние работоспособности,

- состояние отказа (ремонта),

- вероятность нахождения системы в состоянии ,

- вероятность нахождения системы в состоянии .

Требуется определить функцию готовности  и функцию простоя  нерезервированной восстанавливаемой системы.

 Функция готовности совпадает с вероятностью работоспособного состояния , т.е.

 

= .

 

Функция простоя совпадает с вероятностью отказа, т.е.

 

= .

 

Составим систему дифференциальных уравнений Колмогорова. Имеем

 

 

 (2.1)

 

Предположим, что при t = 0 система находилась в работоспособном состоянии , т.е.

 

 

Для любого момента времени t имеем

 

 (2.2)

Из двух уравнений (2.1) одно является лишним, т.к. и связаны соотношением (2.2). Учитывая это, отбросим второе уравнение, а в первое уравнение вместо  подставим 1 - . Имеем:

 

 

или  (2.3)

 

Будем искать решение уравнения при ненулевых начальных условиях.

Запишем решение уравнения (2.3). Имеем:

 

 

или  

 

 

Таким образом

 

 

Определим . Имеем:

Таким образом:

 

При длительной эксплуатации, т.е. при t ® ¥ имеем:

 

 

где - коэфициент готовности системы, - коэфициент простоя системы.

Учитывая, что

 

, .

 

где - среднее время безотказной работы системы;

- среднее время восстановления (ремонта) системы,

имеем

 

; ;

, ;

 

Таким образом, коэффициент готовности характеризует долю времени, в течении которого система работоспособна. Коэффициент простоя характеризует долю времени, в течении которого система ремонтируется.

Определим коэффициент готовности и коэффициент простоя системы, содержащей основной и n - 1 резервных элементов, находящихся в нагруженном режиме. Отказавшие элементы образуют очередь на ремонт, который осуществляется одной бригадой с интенсивностью m. Интенсивность отказа любого элемента равна l.

Введём в рассмотрение состояния , , ………., :

- работоспособны все n элементов

- отказал один элемент, остальные работоспособны

- отказали два элемента, остальные исправны

- отказали i элементов, остальные исправны

…………………………………………………….

- отказала вся система, т.е. отказали все n элементов.

Построим граф состояния системы.

Составим систему дифференциальных уравнений Колмогорова. Имеем:

 

 ……………………………………….

 

где - вероятность нахождения системы в момент времени t в состоянии , i = 0,1…, n

В установившемся режиме имеем:

 

;

;

В результате получим систему алгебраических уравнений вида:

 

 

Из системы алгебраических уравнений имеем:

 

 

Для вероятностей состояний справедливо следующее соотношение

 

;

 

Определим . Имеем:

 

.

;

 

или

 

Отсюда

 

Коэффициент готовности:

 

 

3. НАДЁЖНОСТЬ ПРОГРАММНОГО ОБЕСПЕЧЕНИЯ

 

Исследования в области программной надёжности находятся на начальном этапе своего развития.

Целесообразно выделить две стороны программного обеспечения объекта: программную надёжность объекта - свойство объекта выполнять заданные функции, обусловленные качеством программного обеспечения; надёжность программного обеспечения - свойство программного обеспечения выполнять предписанные ему требования.

Программная надёжность изделия проявляется при совместной работе аппаратуры и программы. Она характеризует способность изделия выполнять заданные функции при условии, что программа будет находиться в том или другом состоянии.

Надёжность программного обеспечения характеризует качественное состояние программы. Её иногда называют правильностью программы, корректностью программы, надёжностью программы.

Программная надёжность объекта - это то, что интересует его потребителя. Для её обеспечения необходимо, чтобы программа была “правильной”, “корректной”, “надёжной”, т.е. чтобы она не содержала ошибок. Может оказаться, что некоторые из ошибок совсем не проявятся при работе объекта или, наоборот, при работе объекта обнаружатся дополнительные несовершенства (“ошибки”) программы. Однако очевидно, что необходимым условием надёжной работы объекта является “корректность” программ, т.е. отсутствие в них ошибок.

 Программная надёжность становится особо актуальной, когда программы являются самостоятельным изделием. В этом случае они изготовляются, проверяются и подвергаются приёмосдаточным испытаниям так же, как обычные объекты.

Положения о двух сторонах надёжности программного обеспечения полезно иметь в виду при исследовании надёжности программно-управляемых объектов.