Тема 2. Векторная алгебра

Упорядоченную совокупность  вещественных чисел в виде  называют мерным вектором. Число  называют ой компонентой вектора . Для векторов вводят следующие линейные операции.

Суммой двух векторов одинаковой размерности  называют такой вектор , компоненты которого равны сумме соответствующих компонент слагаемых векторов, т.е.

Пример 1.

,

Произведением вектора  на число  называют вектор , компоненты  которого равны произведению числа  на соответствующие компоненты вектора , т.е.

Пример 2.

Линейные операции над векторами обладают следующими свойствами:

Существует нулевой вектор  такой, что  для любого вектора

Для любого вектора  существует противоположный вектор такой, что

Множество векторов, в котором определены операции сложения векторов и умножения вектора на число, удовлетворяющее приведенным выше свойствам, называется векторным (линейным) пространством и обозначается символом .

Вектор  называется линейной комбинацией векторов  векторного пространства , если он равен сумме произведений этих векторов на произвольные действительные числа

.

Векторы  называются линейно зависимыми, если существуют такие числа , не все равные нулю, что их линейная комбинация является нулевым вектором

 (1)

В противном случае, т.е. когда равенство (1) справедливо лишь при  векторы  называются линейно независимыми. Можно показать, что если векторы  линейно зависимы, то по крайней мере один их них является линейной комбинацией остальных.

Векторное пространство  называется мерным, а число размерностью пространства, если в нем существует  линейно независимых векторов, а любые из  векторов уже являются зависимыми. Таким образом, размерность пространства – это максимальное число содержащихся в нем линейно независимых векторов.

Совокупность  линейно независимых векторов мерного пространства  называется базисом этого пространства. Пусть векторы  образуют произвольный базис мерного пространства . Тогда любой вектор  пространства  можно представить и притом единственным способом в виде линейной комбинации векторов базиса

. (2)

Равенство (2) называют разложением вектора  по базису , а числа координатами вектора  относительно этого базиса.

Пример 3. Показать, что векторы , образуют базис и найти координаты вектора в этом базисе.

Решение. Так как каждый вектор задан тремя координатами, то в рассматриваемом векторном пространстве существует базис  и размерность пространства, равная трем, совпадает с числом заданных векторов . Поэтому векторы  образуют в нем базис, если они линейно независимы. Составим векторное равенство

которое можно записать для соответствующих координат этих векторов

 (3)

Решим полученную систему линейных уравнений (3) методом Гаусса.

~ ~ ~

~ ~ ~ ~

~ ~ .

Отсюда получаем единственное нулевое решение , т.е. векторы  являются линейно независимыми и, следовательно, образуют базис пространства. Найдем теперь разложение вектора  по базису  из условия выполнения векторного равенства

,

которое для соответствующих координат запишется

Полученную квадратную систему линейных уравнений относительно неизвестных  решим по формулам Крамера. Вычислим определители3-го порядка:

Тогда по формулам Крамера находим координаты вектора  в базисе :

В итоге имеем

Задача для контрольной работы

Показать, что векторы  образуют базис и найти координаты вектора  в этом базисе. Численные данные в зависимости от варианта приводятся в таблице 3.

Таблица 3