Тема 4. Случайные величины

 

Задача. Функция распределения спроса на некоторый продуктовый товар для различных микрорайонов города задается выражением:

 

 

Требуется найти:

1. Плотность распределения вероятности.

2. Параметры и .

3. Математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение спроса.

4. Вероятность того, что в наудачу выбранном микрорайоне спрос находится в пределах от значения  до .

5. Размер спроса, который для случайного выбранного микрорайона может быть превзойден с вероятностью .

Параметры  (в млн. руб),  приводятся в таблице 5.

 

Таблица 5

Значения параметров
1	2	2	3	0,5

 

Решение.

1. Плотность распределения вероятностей является производной функции распределения вероятностей, поэтому:

 

 

2.Найдем параметр . Функция распределения обладает следующим свойством: =1. Вычислим предел

 

= .

 

Отсюда  =1.

Далее определим параметр . Интеграл от плотности вероятности по области реализации случайной величины равен единице. В соответствии с условиями задачи спрос как случайная величина изменяется в пределах от до . Поэтому, находя несобственный интеграл, имеем

 

Таким образом, = .

3.Вычислим математическое ожидание спроса через плотность распределения (с учетом того, что = ) как несобственный интеграл:

 

.

 

Найдем интеграл методом интегрирования по частям. Пусть .

Тогда

 

.

 

Применяя формулу интегрирования по частям, получим

 

.

Подставив в полученное выражение численные значения параметров, найдем:

 

 

По формуле

 

 

 

определим дисперсию спроса. Вначале вычислим несобственный интеграл

 

 

также методом интегрирования по частям. Пусть . Тогда

 

,

.

 

Последний интеграл уже найден при вычислении , поэтому можно записать:

.

 

Отсюда окончательно получаем:

 

.

 

После подстановки численных значений параметров, находим

 

 

Среднеквадратическое отклонение вычисляется как квадратный корень из дисперсии:

 

 

4. Вероятность нахождения случайной величины в заданном интервале можно найти, используя функцию распределения

 

 

 

При получаем

 

Подставляя численные значения параметров, имеем:

 

 

Величина , определяемая равенством , называется квантилем порядка . В задаче требуется найти . Запишем необходимое равенство:  или . Логарифмируя последнее равенство , найдем

 

.

 

При =0,5 получаем:

 

 

 

Таким образом, с вероятностью 0,5 спрос в случайно выбранном микрорайоне будет больше 1,35 (млн. руб).

Задача для контрольной работы

Функция распределения годовых доходов лиц, облагаемых налогом, описывается выражением:

 

 

Требуется найти:

1. Плотность распределения вероятности.

2. Параметры и .

3. Математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение годового дохода.

4. Вероятность того, что у наудачу выбранного налогоплательщика годовой доход находится в пределах от значения  до .

5. Размер годового дохода, который для случайного выбранного налогоплательщика может быть превзойден с вероятностью .

Параметры  для различных вариантов заданий приводятся в таблице 6.

 

Таблица 6

Параметры	Номер варианта
	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	200	250	300	350	360	370	380	390	400	410
	3,1	3,2	3,3	3,4	3,5	3,6	3,7	3,8	3,9	4,0
	210	280	350	400	380	390	410	420	425	440
	230	300	400	480	400	420	430	450	460	500
	0,3	0,35	0,4	0,45	0,5	0,55	0,6	0,55	0,65	0,7