Ряд Фурье для четных и нечетных функций

Отметим следующие свойства четных и нечетных функций:

1)

2) Произведение двух четных и нечетных функций является четной функцией.

3) Произведение четной и нечетной функций – нечетная функция.

Если f ( x ) – четная периодическая функция с периодом , удовлетворяющая условиям разложимости в ряд Фурье, то можно записать:

Таким образом, для четной функции ряд Фурье записывается:

,

Аналогично получаем разложение в ряд Фурье для нечетной функции:

 Пример 2. Построить эскиз графика, разложить в ряд Фурье функцию y = x, периодическую с периодом , определить сумму в точках разрыва, если они есть.

Решение. Эта функция непрерывна на отрезке , то есть на отрезке длиной в период, поэтому допускает разложение в ряд Фурье, сходящейся к ней в каждой точке этого отрезка. Построим график этой функции.

 - нечётная, поэтому . Ряд Фурье имеет вид: . Вычислим коэффициенты :  = .

Подставляя коэффициенты в ряд Фурье, получаем разложение

На концах отрезка , поэтому .

Построим график S₃(x)

12. Разложение в ряд Фурье непериодической функции

Задача разложения непериодической функции в ряд Фурье,  в принципе не отличается от разложения в ряд Фурье периодической функции.

Допустим, что функция f ( x ) задана на отрезке  и является на этом отрезке  кусочно - монотонной.  Рассмотрим произвольную периодическую кусочно - монотонную функцию  c периодом , совпадающую с функцией f ( x ) на отрезке . То есть можно подобрать отрезок , содержащий отрезок  и раскладывать в ряд Фурье функцию на это отрезке.

                                                      y

                                                                  f(x)

                              a - 2T                a a     b a+2T         a + 4T        x

Таким образом, функция  f ( x ) была доопределена.  Полученная  функция  разлагается в ряд Фурье на отрезке , являясь периодической с периодом 2T.  Сумма ряда, составленного для функции , во всех точках отрезка  совпадает с функцией f ( x ), поэтому можно считать, что функция f ( x ) разложена в ряд Фурье на отрезке .

Если функция f ( x ) задана на отрезке, равном  2l, то ее разложение ничем не отличается от разложения в ряд периодической функции с периодом 2l. Если же отрезок, на котором задана функция, меньше, чем  2l, то ее можно продолжить на отрезок [a ; a +2l ], так, чтобы условия разложимости в ряд Фурье сохранялись. Вообще говоря, в этом случае продолжение заданной функции на отрезок (интервал) длиной 2l  может быть произведено бесконечным количеством способов, поэтому суммы получившихся рядов будут различны, но все они будут совпадать с заданной функцией f ( x ) на отрезке .

Пример 4 .  Разложить в ряд Фурье функцию .

Решение. Будем считать функцию периодической с периодом , т.е. . Построим график этой функции

Тогда, ряд Фурье для этой функции будет иметь следующий вид: .

Таким образом . Построим график S₃(x).