Задания на контрольную работу по теме
Задача 1 Исследовать сходимость числового ряда.
Задача 2 Найти область сходимости степенного ряда.
Задача 3 Данную функцию представить в виде степенного ряда по степеням (x – a), где а – данное число.
Задача 4 Построить эскиз графика, разложить в ряд Фурье следующие функции, периодические с периодом , определить сумму в точках разрыва. Построить график частичной суммы Фурье для n=4.
Задача 5 Разложить в ряд Фурье в вещественной форме периодическую функцию , с периодом Т=2l. Построить график частичной суммы при n=5.
Задача 6 Разложить в ряд Фурье в комплексной форме периодическую функцию с периодом , определенную следующим образом: , . Построить амплитудно-частотный спектр.
Решение примерного варианта Задача 1 Исследовать сходимость числового ряда.
а) . К данному знакоположительному ряду применим признак Даламбера: ; ряд расходится. Ответ: ряд расходится.
б) . Исследуем данный знакочередующийся ряд на абсолютную сходимость, рассмотрев ряд, составленный из модулей его членов: . Полученный знакоположительный ряд сравним по второму признаку сравнения с гармоническим рядом , про который известно, что он расходится: . Предел существует и не равен нулю; следовательно, согласно признаку, исследуемый ряд, как и гармонический, тоже расходится. Значит, исходный знакочередующийся ряд абсолютной сходимости не имеет. Проверим теперь, обладает ли исходный знакочередующийся ряд условной сходимостью. Для этого используем признак Лейбница: ; , т.е. для любых выполняется условие . Оба условия признака Лейбница выполняются, т.е. по признаку Лейбница ряд сходится. Таким образом, исходный знакочередующийся ряд сходится условно. Ответ: ряд сходится условно. Задача 2 Найти область сходимости степенного ряда.
. Здесь центр сходимости . Найдем радиус сходимости по формуле (16), полученной из признака Даламбера: . Так как при функции и являются эквивалентными бесконечно малыми, то при эквивалентны бесконечно малые и , а также и . Поэтому . По найденному радиусу сходимости получаем гарантированный интервал абсолютной сходимости: . Исследуем сходимость ряда на границах этого интервала. · . Этот знакочередующийся ряд не имеет абсолютной сходимости, т.к. , и ряд расходится (второй, предельный признак сравнения). В то же время для него выполняются условия и , т.к. - возрастающая функция. Следовательно, ряд сходится по признаку Лейбница, т.е. исходный степенной ряд в т. сходится условно. · . Этот знакоположительный числовой ряд также можно сравнить с расходящимся рядом по второму признаку сравнения, из чего следует, что ряд расходится. Ответ: область сходимости данного степенного ряда: .
Задача 3 Данную функцию представить в виде степенного ряда по степеням (x – a), где а – данное число: . Решение Требуется разложить функцию по степеням двучлена . Обозначим его новой переменной: . Тогда , и . Последнее выражение представим в виде и введем еще одну переменную: . После этого . Теперь для функции применим ее известное разложение в ряд Маклорена (см. справочную информацию): . В последнем разложении возвратимся к переменной и далее к исходной переменной : . Найдем теперь область сходимости. Для переменной ее составляет интервал , т.е. . Тогда и . Отсюда получаем, что . Ответ: , . Задача 4 Построить эскиз графика, разложить в ряд Фурье функцию , имеющую период . Определить сумму в точках разрыва. По строить график частичной суммы ряда Фурье для n = 4. Решение Построим график функции Эта функция f ( x ) имеет период , одну точку разрыва первого рода x=0 на отрезке , отрезок можно разбить на два отрезка так, что внутри каждого из них функция f ( x ) монотонна. По формуле (2) найдем коэффициент этого ряда. . Найдем по формуле (3) По формуле (4) найдем аналогичным образом . Подставляя коэффициенты в формулу (1), получаем или . Это равенство справедливо во всех точках, кроме точек разрыва. В каждой точке разрыва сумма ряда равна среднему арифметическому ее предельных значений изнутри отрезка, то есть в точке x=0. = , а на концах отрезка в точках и = . Ответ. Построим график S4(x)
Задача 5 Разложить в ряд Фурье в вещественной форме периодическую функцию , с периодом Т=6. Построить график частичной суммы при n = 5. Решение Построим эскиз графика функции Проверив выполнение условий Дирихле для функции, переходим к вычислению коэффициентов Фурье. Заданная функция общего вида с периодом Т=6, l=3, поэтому в разложении ее ряд Фурье имеет вид: . Подставляя коэффициенты в формулу ряда, получаем или . Это равенство имеет место во всех точках, кроме точек -3 и 3. В каждой из этих точек сумма ряда равна среднему арифметическому ее предельных значений справа и слева, то есть . Построим график S5 (x) Можно совместить оба графика на одном чертеже
Отметим близость этих графиков.
Задача 6 Разложить в ряд Фурье в комплексной форме периодическую функцию с периодом , определенную следующим образом: . Построить амплитудно-частотный спектр. Решение. Будем считать функцию периодической с периодом Т =2. Построим график. Проверив выполнение условий Дирихле для функции , переходим к вычислению коэффициентов Фурье по формуле . Интеграл, стоящий в правой части последнего равенства, определяется по частям: ; Если , то полученные формулы не дают результата. Поэтому коэффициент надо вычислить иначе׃ , так как интеграл от нечетной функции по симметричному промежутку равен нулю. Окончательно получим Это равенство имеет место лишь в точках непрерывности функции . В точках разрыва , где k- любое нечетное число, сумма ряда равна нулю. Построим амплитудно-частотный спектр
Вопросы к экзамену 1. Основные понятия числовых рядов. 2. Необходимый признак сходимости рядов. 3. Достаточные признаки сходимости рядов. 4. Определение знакочередующихся и знакопеременных рядов. 5. Признаки сходимости знакочередующихся рядов. 6. Абсолютную и условную сходимость числового ряда. 7. Определение функционального ряда. 8. Сходимость функциональных рядов. 9. Определение степенного ряда. 10. Формулы радиуса и области сходимости степенного ряда. 11. Определение гармонического колебания. 12. Сформулируйте теорему Дирихле. 13. Определение ряда Фурье с периодом Т = 2 . 14. Определение ряда Фурье для четной функции. 15. Запишите ряд Фурье для нечетной функции . 16. Определение ряда Фурье с произвольным периодом Т = 2l. 17. Определение ряда Фурье с произвольным периодом четной функции. 18. Определение ряда Фурье с произвольным периодом нечетной функции. 19. Определение ряда Фурье для непериодической функции, заданной на некотором интервале (а, в). 20. Определение комплексной формы разложения функции в ряд Фурье. 21. Определение амплитудного спектра ряда Фурье в комплексной форме.
Популярное: Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (215)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |