Методические указания по темам

№ задачи	Тема	Литература
1	Определение числового ряда. Основные понятия: общий член, частичная сумма, сумма ряда, сходимость и расходимость. Свойства числовых рядов. Необходимый признак сходимости. Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов: признаки сравнения, признак Даламбера, радикальный признак Коши, интегральный признак Коши. Знакопеременные числовые ряды, их абсолютная и условная сходимости. Знакочередующиеся числовые ряды. Признак Лейбница сходимости знакочередующегося ряда	[1]: гл.XIII, §59; [2]: гл.XVI, §1,2.   [1]: гл.XIII, §60; [2]: гл.XVI, §3-6.     [1]: гл.XIII, §61; [2]: гл.XVI, §7,8.
2	Функциональный ряд: определения и основные понятия. Область сходимости функционального ряда. Определение степенного ряда. Теорема Абеля. Радиус сходимости. Способы определения радиуса сходимости степенного ряда.	[1]: гл.XIV, §62; [2]: гл.XVI, §9.   [1]: гл.XIV, §63; [2]: гл.XVI, §13,14.
3	Дифференцирование и интегрирование степенных рядов. Ряды Тейлора и Маклорена. Разложение в ряд Маклорена функции . Разложение в ряд Маклорена функций  и . Области сходимости этих рядов. Разложение в ряд Маклорена биномиальной функции ; область сходимости этого ряда. Разложение в ряд Маклорена функций ; области сходимости этих рядов.	[1]: гл.XIV, §63; [2]: гл.XVI, §14. [1]: гл.XIV, §64; [2]: гл.XVI, §15-17.     [1]: гл.XIV, §64; [2]: гл.XVI, §19,20.
4	Применение степенных рядов для приближенного вычисления функций. Оценка погрешности.	[1]: гл.XIV, §65; [2]: гл.XVI, §20,21.
5	Применение степенных рядов для приближенного вычисления определенных интегралов. Оценка погрешности.	[1]: гл.XIV, §65; [2]: гл.XVI, §21.
6	Тригонометрический функциональный ряд. Тригонометрический ряд для функции, заданной на отрезке  Теорема Дирихле о сходимости ряда Фурье для функции, заданной на отрезке Ряд Фурье для функции с периодом . Ряд Фурье для функции с произвольным периодом. Ряды Фурье для четной и нечетной функции. Разложение в ряд Фурье функции, заданной в интервале .	[1]: гл.XV, §66,67; [2]: гл.XVII, §1,2.   [2]: гл.XV, §67; [1]: гл.XVII, §3-5.     [2]: гл.XV, §67; [1]: гл.XVII, §6.
7	Гармонические колебания. Тригонометрический ряд. Ряд Фурье	[1], гл.VII, §29, 30; [2], гл.7, §1-4; [3], ч.1, гл.IX, №1337-1349, 1368-1379, 1392- [4], гл.6, № 2-12, 36-50, 102, 108, 114, 118
8	Ряд Фурье для функций с произвольным периодом	[1], гл.VII, §31, 32; [2], гл.7, §5, 6.3; [3], ч.1, гл.IX, №1410-1414, 1429-1434, 1489-1490, 1493-1499; [4], гл.6, № 174, 177-180, 193, 195-201, 230-240
9	Ряд Фурье для четных и нечетных функций	[1], гл.VIII, §35-40; [2], гл.8, §1, 4-9, 11; [3], ч.1, гл.X, №1552-1557, 1572-1578; [4], гл.6, № 262-273, 255-260, 366-369
10	Ряд Фурье функции, заданной на отрезке [0, π] по синусам или по косинусам	[1], гл. VIII, §41, 41.1, 41.2; [2], гл.8, §10.1, 10.2; [3], ч.1, гл.X, №1596-1600; [4], гл.6, № 290-294,301, 302

Справочный материал по теме

Основные понятия о числовых рядах и определения

Числовой последовательностью называется упорядоченный набор нумерованных чисел ,  представляющая собой функцию

,                                                                          (1)

заданную на множестве натуральных чисел. Числа  называются соответственно первым, вторым и так далее членами последовательности. Число , задаваемое формулой (1), называется общим членом последовательности.

В последовательностях и рядах широко используется функция натурального аргумента

,

представляющая собой произведение первых  натуральных чисел. Обозначение  читается как «эн факториал».

Пусть u ₁ , u ₂ , u ₃ ,…, u_n ,…, где u_n = f ( n ) , - бесконечная числовая последовательность. Тогда выражение

(2)

называется числовым рядом.

Числа   называются членами ряда. При этом

,

называется общим членом ряда. Ряд считается заданным, если задана формула для . Нумерация членов ряда, вообще говоря, может начинаться с любого целого числа.

Сумму первых членов ряда по n-ный включительно обозначают S_n и называют n-ной частичной суммой ряда, т.е.

Сумму остальных слагаемых, начиная с -го, называют n -ным остатком числового ряда и обозначают , т.е.  

Согласно определению (2), остаток числового ряда можно рассматривать как самостоятельный числовой ряд.

Предел последовательности частичных сумм при , если он существует, называется суммой ряда и обозначается буквой S , т.е.

.

Если  существует, т.е. если сумма S есть конечное число, то говорят, что ряд (2) сходится. В противном случае говорят, что ряд (2)  расходится.

Частный случай числового ряда – геометрический ряд, представляющий собой сумму бесконечной геометрической прогрессии:

.

Его частичная сумма:

.

При этом если , то геометрическая прогрессия называется бесконечно убывающей, и геометрический ряд имеет конечную сумму

.

В случаях, когда , геометрический ряд расходится, т.е. конечной суммы не имеет.