Дисперсионный анализ результатов моделирования

При обработке и анализе результатов моделирования часто возникает задача сравнения средних выборок. Если в результате такой проверки окажется, что математическое ожидание совокупностей случайных переменных {y⁽¹⁾}, {y⁽²⁾}, …, {y⁽ⁿ⁾} отличается незначительно, то статистический материал, полученный в результате моделирования, можно считать однородным (в случае равенства двух первых моментов). Это дает возможность объединить все совокупности в одну и позволяет существенно увеличить информацию о свойствах исследуемой модели М_м, а следовательно, и системы S. Попарное использование для этих целей критериев Смирнова и Стьюдента для проверки нулевой гипотезы затруднено в связи с наличием большого числа выборок при моделировании системы. Поэтому для этой цели используется дисперсионный анализ.

Пример 7.3. Рассмотрим решение задачи дисперсионного анализа при обработке результатов моделирования системы в следующей постановке. Пусть генеральные совокупности случайной величины {у⁽¹⁾}, {y⁽²⁾}, ..., {y⁽ⁿ⁾} имеют нормальное распределение и одинаковую дисперсию. Необходимо по выборочным средним значениям при некотором уровне значимости g проверять нулевую гипотезу H₀ о равенстве математических ожиданий. Выявим влияние на результаты моделирования только одного фактора, т.е. рассмотрим однофакторный дисперсионный анализ.

Допустим, изучаемый фактор x привел к выборке значений неслучайной величины Y следующего вида: y₁, y₂, ..., y_k , где k – количество уровней х. Влияние фактора будем оценивать неслучайной величиной D_x, называемой факторной дисперсией:

,

где  – среднее арифметическое значение величины Y.

Если генеральная дисперсия D[y] известна, то для оценки случайности разброса наблюдений необходимо сравнить D[y] с выборочной дисперсией , используя критерий Фишера (F-распределение). Если эмпирическое значение F_э попадает в критическую область, то влияние фактора х считается значимым, а разброс значений х – неслучайным. Если генеральная дисперсия D[y] до проведения машинного эксперимента с моделью М_м неизвестна, то необходимо при моделировании найти ее оценку.

Пусть серия наблюдений на уровне y_iимеет вид: у _i1, у _i2, …, y_in, где n – число повторных наблюдений на i-м уровне. Тогда на i-м уровне среднее значение наблюдений

,

а среднее значение наблюдений по всем уровням

.

Общая выборочная дисперсия всех наблюдений

.

При этом разброс значений у определяется суммарным влиянием случайных причин и фактора х. Задача дисперсионного анализа состоит в том, чтобы разложить общую дисперсию D[у] на составляющие, зависящие от случайных и неслучайных факторов.

Оценка генеральной дисперсии, связанной со случайными факторами,

,

а оценка факторной дисперсии

.

Учитывая, что факторная дисперсия наиболее заметна при анализе средних значений на i-м уровне фактора, а остаточная дисперсия (дисперсия случайности) для средних значений в n раз меньше, чем для отдельных измерений, найдем точную оценку выборочной дисперсии:

.

Умножив обе части этого выражения на n, получим в правой части выборочную дисперсию , имеющую (k – 1)-ю степень свободы. Влияние фактора х будет значимым, если при заданном g выполняется неравенство / > F_1-g. В противном случае влиянием фактора х на результаты моделирования можно пренебречь и считать нулевую гипотезу Н₀ о равенстве средних значений на различных уровнях справедливой.

Таким образом, дисперсионный анализ позволяет вместо проверки нулевой гипотезы о равенстве средних значений выборок проводить при обработке результатов моделирования проверку нулевой гипотезы о тождественности выборочной и генеральной дисперсии.

 Обработка результатов машинного эксперимента при синтезе систем

При синтезе системы S на базе машинной модели ММ задача поиска оптимального варианта системы при выбранном критерии оценки эффективности и заданных ограничениях решается путем анализа характеристик процесса функционирования различных вариантов системы, их сравнительной оценки и выбора наилучшего варианта. Независимо от того, как организуется выбор наилучшего варианта системы – простым перебором всех проанализированных при машинных экспериментах результатов или с помощью специальных процедур поиска оптимального варианта, например, методом математического программирования, – элементарной операцией является сравнение статистически усредненных критериев оценки эффективности вариантов систем.