Шаг третий. Сценарий курса.

В разворачивании данного курса можно выделить 8 стадий или этапов, о каждом из которых мы коротко расскажем.

1) Моделирование физического маятника. Школьникам предлагается построить модель физического маятника. Это значит, что они могут провести с ним любые экспериментальные работы и сделать любые операции. При этом они должны предложить такую схему, которая показала бы устройство данного объекта и объяснила бы наблюдаемые явления.

Школьники, естественно, начинают эту работу исходя из имеющихся у них знаний и понятий. По сценарию занятия предполагается, что школьники предложат два подхода к схематизации и моделированию физического маятника. Первый подход – через анализ выполнения закона сохранения энергии. Второй подход – через анализ действующих на маятник сил. И в одном, и во втором случае можно с успехом использовать понятия механики для построения такой модели, которая опишет все наблюдаемые феномены. Большего успеха достигают те, кто выбрал второй подход – он лучше разработан в механике. Итак, мы осуществили ход от эксперимента к схеме, используя предметные понятия из физики колебаний и механики.

Само моделирование происходит следующим образом. Школьникам предлагается выделить и нарисовать, из каких элементов состоит данный объект. После этого они должны выделить процесс, который происходит в объекте. Выделенный процесс они должны нарисовать либо в виде схемы-принципа, либо как «кадры», либо через параметры и их изменение. Наконец, они должны ответить на вопрос, от чего зависит именно такое протекание процесса и как это можно показать на схеме всего объекта. На этом этапе им, собственно, нужна идеализация силы или энергии (которая, на самом деле в механике завязана на идеализацию силы) – для того, чтобы объяснить именно такое движение маятника.

2) Для дальнейшего анализа мы выбираем схему, построенную на базе идеализации силы. На этом этапе работы школьники должны проанализировать коллективно полученную модель физического маятника и выделить те ключевые идеализации, принадлежащие предметности физики, и на которых строится их модель. Для того, чтобы проделать эту работу, учащимся необходимо выделить в схеме конструктивы, назвать их и соотнести с используемыми понятиями. После этого должны быть предложены схемы-версии данных понятий. Наконец, необходимо по схеме объекта показать, как выделенное понятие в ней использовано.

Это работа на пересечении метапредметов «Знак» и «Знание» – выделение конструктивов и восстановление за ними идеализаций. Школьники восстанавливают такую схему силы, которая показывает, что сила – это действие одного тела на другое, и за понятием силы стоит идеализация действия, что фиксируется в стрелке – конструктиве силы, которая всегда приложена к какому-то телу и всегда от какого-то тела исходит. Второй этап – это выход за рамки схемы моделирования в действительность метапредмета «Знание» в работу по выделению и восстановлению используемых понятий и идеализаций.

3) На следующем этапе школьникам предлагается рефлексивно описать норму операций, которые должны быть осуществлены при моделировании движения физического маятника с применением понятия силы. Данный этап посвящен категориальному анализу полученной модели через анализ операций, которые могут быть осуществлены с объектом по схеме. Здесь мы попадаем в действительность метапредмета «Знак». Мы вычленяем в устройстве нашего с учащимися мышления категорию процесса, в том числе давая ее описание через фокус допустимых операций.

4) Четвертый этап – поворотный. На нем в устройство курса закладывается ловушка, которая должна «запустить» мышление школьников. Первые три этапа – экспозиция. На данном этапе происходит завязка драматургии блока занятий.

Школьникам предлагается по аналогии с физическим маятником построить модель маятника аргументного. Этот маятник задается через описание своих элементов. Школьники должны выдвинуть гипотезу о том, какие колебания он совершает. При этом они должны предложить модель данного маятника, такую, чтобы она объясняла выдвинутую гипотезу.

Аргументный маятник – изобретение российских физиков Даниила и Якова Дубошинских. Он представляет собой легкий постоянный магнит, закрепленный на подвесе, который может свободно раскачиваться над узкой катушкой, подключенной к источнику переменного тока. Катушка расположена так, что силовые линии магнитного поля параллельны плоскости колебаний маятника. Зона действия магнитного поля очень невелика. Это поле меняет полярность 50 раз в секунду. Маятник делает полный цикл за 2 секунды. Эта очень простая и изящная система, в которой два элемента находятся в двух разных, но взаимосвязанных процессах, как нельзя лучше подходит для введения школьников в указанную нами проблему. Для более подробного ознакомления с устройством и поведением аргументного маятника мы советуем обратиться к работам Даниила и Якова Дубошинских[10].

Школьники принимаются осуществлять это моделирование, применяя выделенные на предыдущем этапе понятия к новому маятнику и, конечно же, формулируют свои версии, по которым получается, что данный маятник – такой же механический объект, подчиняющийся тем же законам, что и физический маятник. Модель начинает строиться как схема на основе имеющихся понятий.

5) Но на этапе обращения к эксперименту с целью проверки своих гипотез, школьников ждет разочарование. Маятник демонстрирует аномальное поведение: он является незатухающим, его амплитуда не зависит от силы тока, т.е. от силы толчка со стороны поля. При этом он может колебаться только с дискретным набором значений амплитуд, которые при этом не точные, а приближенные.

На этом этапе происходит проблематизация: понятия, восстановленные по курсу физики и базовая для физики идеализация воздействия приводят к неверным результатам моделирования.

6) После выявления тех феноменов, или эффектов, которые обнаруживает аргументный маятник, но которые не могут быть объяснены при помощи имеющихся понятий, следует новый цикл моделирования этого маятника. На этот раз мы идем непосредственно от эксперимента, постепенно отбрасывая те идеализации и понятия, которые не работают при описании нашего маятника. Вместе с ними мы отбрасываем из схемы соответствующие конструктивы. Мы можем позволить себе оперировать только теми терминами и знаками, которые ничего не привносят в наше видение эффектов, показанных на маятнике Дубошинского. У нас остаются только параметры описания маятников – частота, амплитуда, фаза. Мы можем, используя категорию процесса, рисовать последовательные картинки, описывая данное положение маятника через параметры, но мы не знаем принципа сборки этих картинок. Между тем, эта сборка должна позволять вычленять и описывать механизм именно такого поведения маятника.

Двигаясь в рамках категории процесса, школьники обнаруживают, что они описывают два разных процесса: колебание поля и колебание маятника. Но при этом в их описании всего объекта через параметры появились такие параметры, которые не описывают ни один процесс. Это – частота изменения полярности магнитного поля за то время, которое маятник находится в зоне действия поля. И тут оказывается, что этот параметр не про поле и не про маятник. Он зависит одновременно от происходящего и с маятником, и с полем. Но само происходящее с маятником после пролета зависит от того, какой была эта – относительная – частота.

Так школьники начинают строить модель как схему взаимосвязи параметров, которые они меряют в эксперименте. При этом в их схеме появляется новый конструктив – обратная стрелка от маятника, на который действует поле, к самому действию этого поля, которое зависит, как это не странно, от маятника тоже.

7) Когда в схемах связи параметров появляется этот новый конструктив, мы организуем работу по выделению того значения, которое вкладывается в этот знак – обратную стрелку. Здесь мы выходим из схемы моделирования и попадаем в эпистемическую работу по построению новой идеализации. Мы должны за построенной схемой связи параметров выявить, увидеть тот идеальный принцип, который позволяет связать между собой все разрозненные схемы, построенные по эксперименту, и который закрепляется на схеме новым знаком. В этой работе по прочистке возникающих идей и смыслов строится идеализация взаимодействия (в отличие от воздействия).

8) Наконец, на восьмом этапе мы должны провести категориальный анализ полученной схемы нового физического принципа взаимодействия процессов. Мы пробуем прочитать данную схему при помощи категории процесса, и обнаруживаем, что не все конструктивы могут быть схвачены этой категорией. Есть новое качество, закрепленное в знаке относительной частоты колебания поля, которое не ухватывается только выделением процессов, в которых участвуют маятник и поле. Схематизирую саму эту ситуацию – существование взаимосвязанных процессов, сорганизованных по схеме обратной связи, мы фиксируем выход на новую категорию – категорию системы.

Наконец, когда новая идеализация и новая категория выделены и описаны, мы можем вернуться в моделирование и в чистоте провести моделирование аргументного маятника. Несмотря на то, что такую модель не удается построить последние 30 лет, попытки осуществлять движение в этом направлении приносят очень серьезные результаты. Собственно, сама схема взаимодействия и возможность применять этот новый принцип в моделировании, а также освоение самой схемы моделирования, является важнейшим образовательным результатом для школьников.

ПРИМЕРЫ ТЕМ И ДИДАКТИЧЕСКИХ ЕДИНИЦ ДЛЯ МЕТАПРЕДМЕТНЫХ ЗАНЯТИЙ НА МАТЕРИАЛЕ КУРСА МАТЕМАТИКИ

Существует знаменитая история о том, что при создании квантовой механики в 1925 году молодой Вернер Гейзенберг заново изобрел уже существовавшее, но неизвестное ему матричное исчисление, за что удостоился от своего учителя Макса Борна прозвища «гениального невежды». Но не стоит думать, что Гейзенберг не знал математики, наоборот, он владел ею в той степени, что мог при необходимости разрабатывать новые математические языки тогда, когда это требовалось ему для его физических изысканий.

К сожалению, среди школьников очень редко встречаются настолько же гениальные, но не освоившие еще многие разделы математике ребята, каким был немецкий ученый. Для большинства из них, даже для тех, кто хорошо владеет школьным курсом математики, напротив, именно математика является самым серьезным препятствием для вхождения в мир современной физики, химии и даже биологии. Это неудивительно, если учесть, что между математикой, используемой в современных науках, и математикой в школе лежит дистанция не менее, чем в три века. Математический анализ – основу основ математического аппарата практически в любой научной дисциплине еще с XVIII века – ребята осваивают только в двух последних классах, да и то в невероятно усеченном виде. Такие важные и не специфические для науки разделы, объекты математики, как теория вероятностей, комбинаторика, вариационное исчисление, матрицы и определители, комплексные числа, дифференциальные уравнения, векторный анализ и разложение в ряды в школьном курсе не удостоены даже упоминания, и отданы на откуп педагогам-энтузиастам, ведущим отдельные физико-математические классы или факультативы.

Доходит до смешного: школьники овладевают очень непростым с точки зрения осуществляемых преобразований решением систем линейных уравнений методом подстановки, но не знают намного более элементарного решения по правилу Крамера, которым пользуется весь остальной мир, - просто потому, что в школе не проходят действия с определителями. Между тем, метод подстановки крайне трудоемок, если применять его к системам не из двух, а из трех – пяти и большего числа уравнений, тогда как универсальность правил Крамера позволяет решать сколь угодно большие системы.

Впрочем, школьники и не представляют себе, что могут существовать системы из более чем двух линейных уравнений, в которых могут быть более чем две переменные (причем, не обязательно обозначенные x и y), поскольку в школьном курсе таких уравнений нет. Равно как в нем нет функций двух и более переменных, квадратных уравнений, дискриминант которых был бы меньше нуля, а парабола и гипербола – это исключительно виды графиков, и изучаются они в алгебре, но никак не в геометрии. В целом, получается так, что школьный курс представляет собой не столько введение в основы математики, сколько введение в специально сконструированный мир учебных задач, позволяющий, безусловно, обучить осуществлению ряда математических процедур и поставить необходимую, в первую очередь, при доказательстве теорем и решении геометрических задач формальную логику математического рассуждения, но в то же самое время уводящий ребенка и от современной математики, и от ее применения в современных науках.

Мы не ставим своей целью ответить на вопрос, какое содержание современной математики должно быть включено в процесс обновления знаний в школьном предмете математики, эта задача должна быть поставлена перед профессионалами, владеющими необходимой математической культурой. В этой работе мы постараемся очертить круг задач по изменению содержания школьного курса математики, которое может быть осуществлено по большей части без обращения к специфическим для школы разделам этой дисциплины.

На наш взгляд, одной из важнейших задач общего математического образования является складывание у учеников достаточной математической культуры, чтобы они могли разбираться с содержанием как минимум школьной, а по возможности и современной физики, химии и биологии. Такой взгляд сложен многолетним опытом работы нашего коллектива по обучению школьников работе в прорывных проектах, а также по преподаванию метапредметов и обновлению знаний в различных дисциплинах. Введение школьников в содержание современной науки неизбежно связано с тем, что им приходится читать сложные и неадаптированные тексты и сталкиваться с тем, что рассуждение в них постоянно ведется не только на терминологическом, но и на нескольких математических языках. Кроме того, осваивая передовые знания, школьники часто оказываются в ситуации, когда эти языки необходимы им самим для того, чтобы строить новые идеальные представления и модели; и то, что ребята не владеют математикой в нужной степени, сильно стесняет их мыслительные возможности.

На это можно было бы возразить, что современная наука имеет дело с математикой, решительно выходящей за рамки школьной программы, тогда как задача общего математического образования – складывание базы, без которой освоение необходимой в науке математики невозможно. Само же это освоение – задача высшей школы. Но феноменально происходит другое: школьники не могут применить в ситуациях столкновения с научным содержанием даже те знания, которые относятся к базовым.

Другим распространенным заблуждением является взгляд, что единственной школьной дисциплиной, в которой в полной мере нужна математика, является физика. На самом же деле ограничения, накладываемые уровнем математических знаний школьников, а также несогласованность программы по алгебре и геометрии с программами других предметов приводит к невозможности введения в школе ряда принципиально важных, опять же базовых знаний по химии и биологии. В рамках химии отсутствие даже элементарных сведений о дифференциальных уравнениях вызывает необходимость разъяснять строение атомов исключительно формально, если не сказать, догматично, в частности, вводить квантовые числа и формы орбиталей, даже не поясняя их происхождения, а отсутствие у школьников необходимых знаний по дифференциальному исчислению (например, совсем не сложного для понимания отличия полного дифференциала функции от вариации функционала) не позволяет в достаточной мере ввести ни химическую термодинамику, ни химическую кинетику. Таким образом, мы оказываемся как бы в ситуации середины XIX века, когда этих дисциплин еще не существовало, и химия была во многом эмпирической наукой. В биологии критически важным, например, для генетики, является владение комбинаторикой хотя бы на элементарном уровне. В настоящий момент анализ наследования признаков в поколениях школьники ведут при помощи составления таблиц, позволяющих комбинировать наследуемые гены, но не имеют возможности сделать необходимое обобщение этого способа при помощи простых правил комбинаторики. Кроме того, все важнейшие проблемы биофизики так или иначе связаны с использованием математики, не известной школьникам. И при введении ребят в область этих знаний приходится искать обходные пути.

Но даже не касаясь вопроса о расширении содержания математического образования в школе на области математического знания, более современные, чем работы Ньютона и Лейбница, мы попадаем в ситуацию, когда ряд особенностей преподавания школьной математики серьезнейшим образом осложняет введение нового естественнонаучного знания. Собственно, необходимость изменения этой части содержания математики мы и хотели бы обсудить.