Исследование устойчивости САУ с помощью критерия Найквиста

 

       Критерий Найквиста относится к частотным критериям устойчивости, был разработан американским ученым Г. Найквистом в 1932 году и позволяет судить об устойчивости замкнутой системы по виду АФЧХ разомкнутой системы.

       Рассмотрим систему

 

                             

                                                           Рис.1.

Здесь - передаточная функция разомкнутой системы. Тогда передаточная функция замкнутой системы имеет вид

                                                .                                        (1)

Приравняв знаменатель нулю, получим характеристическое уравнение замкнутой системы

                                                    .                                              (2) Обозначим

                                                .                                       (3)

Представим передаточную функцию разомкнутой системы в виде отношения двух полиномов

                                                  ,                                              (4)

где - характеристический полином степени  разомкнутой системы, - полином степени . Тогда

                         .                        (5)

Заметим, что в этом выражении степени полиномов числителя и знаменателя одинаковы и равны .

       Пусть , тогда

                                              .                                               (6)

Предположим, что разомкнутая система неустойчива и ее характеристическое уравнение имеет  правых и  левых корней. Будем также предполагать, что замкнутая система неустойчива и имеет  правых и  левых корней. Тогда на основании принципа аргумента можно утверждать, что при изменении частоты  от  до  изменение аргумента  составит

      .   (7)

Для того, чтобы замкнутая система была устойчивой необходимо и достаточно, чтобы все корни ее характеристического уравнения были левыми, то есть . В этом случае

                                         .                                    (8)

Так как в соответствии с выражением (3) функции  и  отличаются на единицу, то поворот вектора  вокруг начала координат соответствует повороту вектора  вокруг точки .

       Дадим теперь следующую формулировку критерия устойчивости Найквиста. Для того, чтобы замкнутая система была устойчивой при неустойчивой разомкнутой системе необходимо и достаточно, чтобы АФЧХ разомкнутой системы  при изменении частоты  от  до  охватывала точку  в положительном направлении (против часовой стрелки)  раз, где - число правых корней характеристического уравнения разомкнутой системы.

На Рис. 4.3 изображена АФЧХ устойчивой системы в замкнутом состоянии, которая в разомкнутом состоянии была неустойчива и имела два правых корня.

                                      

 

                                                       Рис. 4.2.

       На практике обычно дается следующая формулировка критерия Найквиста. Если разомкнутая САУ устойчива, то замкнутая система будет устойчива , если АФЧХ разомкнутой системы  не охватывает точку с координатами .

                             

 

                          Рис. 4.3. АФЧХ устойчивой системы

 

                               

 

                             Рис. 4.4. АФЧХ неустойчивой системы

 

Если   проходит через точку , то САУ находится на границе устойчивости .

       Рассмотренные выше АФЧХ относятся к статическим САУ . У астатических систем, содержащих интегрирующие звенья, АФЧХ при  стремиться к бесконечности и , следовательно , не образует замкнутого контура. Для того, чтобы определить устойчивость астатической замкнутой САУ необходимо построить АФЧХ разомкнутой системы при  , дополнить ее дугой  , (где  - порядок астатизма ) окружности бесконечно большого радиуса  и затем применять критерий устойчивости Найквиста.

 

                                                                           

 

                                                          Рис. 4.5.

 

На Рис. 4.5 приведена АФЧХ разомкнутой устойчивой системы с астатизмом первого порядка. Замкнутая система в этом случае также устойчива . На Рис. 4.6   показана АФЧХ разомкнутой неустойчивой системы с астатизмом второго порядка . Для этого случая замкнутая система неустойчива, так как точка с координатами  охватывается АФЧХ, дополненной дугой бесконечно большого радиуса в отрицательном направлении.

                                  

                                                           Рис.4.6.

На практике широкое применение получил критерий устойчивости Найквиста с применением вместо АФЧХ логарифмических амплитудно-частотных характеристик.

 

                                                        

 

                                                       Рис. 4.7.                                       

       Устойчивость САУ связана с числом пересечений АФЧХ отрезка  отрицательной вещественной полуоси (Рис.4.7). Когда АФЧХ пересекает эту полуось, ЛФЧХ пересекает одну из линий , где  (Рис.4.8).

 

               

   

                                                                Рис.4.8.

Если пересечения указанных линий происходят справа от точки , то они не влияют на устойчивость САУ, если при этом  и, следовательно, . Поэтому область отрицательных ЛАЧХ при исследовании устойчивости не рассматривается. Интерес представляет только область положительных ЛАЧХ.

       Сформулируем критерий Найквиста. Для того, чтобы замкнутая САУ была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы разность между числом положительных (на Рис.4.8 сверху вниз) и отрицательных переходов (снизу вверх) ЛЧХ прямой   , где i=0,1,2, ... в области , была равна , где  - число правых корней характеристики уравнения разомкнутой САУ.

       Если разомкнутая система устойчива, то и замкнутая система будет устойчивой (Рис.4.7 и 4.8), так как . Запасы устойчивости по амплитуде равны  и , и по фазе .