УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ И СТАТИКИ

Динамика рассматривает состояние движения, ход развития процессов во времени. Динамика процессов обычно описывается дифференциальными или разностными уравнениями.

Будем рассматривать систему

 

Рис.2.1.

 

Поведение исследуемой системы описывается дифференциальными уравнениями. Так зависимость выходного сигнала  от входного  в общем случае можно описать следующим дифференциальным уравнением

 

... ... , (2.1)

где

, , , … , ,

- начальные условия. Уравнение 2.1. является уравнением динамики рассматриваемой системы.

Пусть поведение системы Рис.2.1 описывается уравнением

.

Будем предполагать, что . Входной сигнал  и сигнал на выходе системы , полученный в результате моделирования при нулевых начальных условиях, изображены на Рис.2.2.

 

Рис.2.2.

 

В отличии от динамики, рассматривающей процессы протекающие в системе

во времени, статика изучает состояние покоя или равновесия. В этом случае

отсутствует временной фактор.

    Из уравнения динамики (2.1), приравняв нулю все производные (так как режим установившейся), нетрудно получить уравнение статики системы

 

                                                     ,                                       (2.2)

 

где - постоянная входная величина, - установившееся значение выходной величины.

    Из уравнения статики можно получить статическую характеристику системы, представляющую собой зависимость выходной величины от входной в статическом режиме

.

 

Представим статическую характеристику в виде графика Рис.2.3.

 

 

 

Рис.2.3.

Статическая характеристика может быть получена экспериментально путем подачи на вход системы постоянных воздействий и измерения установившихся значений выходных величин.

 

     2.2. ЛИНЕАРИЗАЦИЯ УРАВНЕНИЙ

 

    Пусть система

 

 

 

Рис.2.4.

 

описывается следующим дифференциальным уравнением                 

                                      ,                                  (2.3)

 

где и - соответственно входной и выходной сигналы, - возмущающее воздействие.

     Уравнение (2.3) является нелинейным. Процесс исследования нелинейных систем существенно сложнее процесса исследования линейных. Поэтому исследование нелинейных систем стремятся свести к исследованию линейных. Процедура преобразования нелинейных уравнений в линейные называется линеаризацией.

     Процедура линеаризации базируется на разложении нелинейных функций, входящих в уравнения, в ряд Тейлора. Необходимо отметить, что разложение какой либо функции в ряд Тейлора происходит в достаточно малых окрестностях некоторой точки. В качестве такой точки берется точка, соответствующая заданному режиму работы системы. В установившемся состоянии это может быть режим равновесия. Заметим, что отклонения реальных значений входных и выходных сигналов от их заданных значений в нормально работающей замкнутой автоматической системе не велико. Система работает по принципу парирования таких отклонений.

     Обозначим переменные, соответствующие заданному режиму работы системы

                            .              (2.4)

 

Введем отклонения реальных значений сигналов от требуемых

 

, , .

Тогда

, , , , , .

 

    Рассматривая функцию  выражения (2.3) как функцию независимых переменных , разложим ее в ряд Тейлора в точке (2.4), соответствующей заданному режиму

 

               + + + +

 

+ + + + +

+ + + + +

                        + + + +

                         + + + + + =0.

 

В этом выражении оставим только первые члены разложения, отбросив малые члены более высокого порядка.

 

+ + +

                                + + =0.                   (2.5)

 

В заданном режиме уравнение (2.3) примет вид

.

Вычтем это уравнение из (2.5), получим

 

+ + + =0. (2.6)

 

Введем обозначения

, , , , .

Подставив их в (2.6) и отбросив знак , получим линеаризованное уравнение в отклонениях

                                   .                           (2.7)

 

Линеаризация уравнения (2.3) была проведена в предположениях:

- отклонения входных  и  сигналов от их заданных значений малы,

- функция  имеет непрерывные частные производные по всем своим аргументам в окрестности точки разложения, соответствующей заданному режиму,

- линеаризованное уравнение (2.7) является уравнением в отклонениях.

Рассмотрим Рис.2.5.

 

 

Рис.2.5.

В этом случае нелинейная зависимость между  и , выраженная

кривой , в окрестностях точки разложения , заменена касательной . Запись же уравнения в отклонениях, соответствует переносу начала координат в точку .

 

    2.3. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА И ЕГО ОСНОВНЫЕ

             СВОЙСТВА

    Преобразованием Лапласа называется следующее соотношение

 

                                                  ,                                (2.8)

где - функция вещественного переменного, - функция комплексного переменного . Преобразование Лапласа ставит в соответствие функции действительного переменного  функцию комплексного переменного . Смысл преобразования Лапласа заключается в том, что оно переводит рассмотрение процесса, являющегося функцией действительного переменного, например времени, на комплексную плоскость с координатами  и .

    Функцию  называют оригиналом, а функцию  изображением по Лапласу или просто изображением. Преобразование Лапласа можно записать в символическом виде

                                        (2.9)

где  - оператор Лапласа.

    Функция , являющаяся оригиналом, должна обладать следующими свойствами:

- должна быть определена и кусочно-дифференцируема на всей положительной числовой полуоси ;

-  при ;

- существуют такие положительные числа и , что  при .

С помощью обратного преобразования Лапласа

,                      (2.10)

можно найти по известному изображению его оригинал. В нем интеграл берется вдоль любой прямой . Символически обратное преобразование Лапласа можно записать

,

где - обратный оператор Лапласа.

    Рассмотрим основные свойства преобразования Лапласа.

    1. Свойство линейности. Для любых постоянных  и

 

.

    2. Дифференцирование оригинала.

 Для первой производной

, где .

Для n-й производной

,

где

, .

Если начальные условия нулевые

,

то

.

Таким образом, n-кратное дифференцирование оригинала при нулевых начальных условиях, соответствует умножению изображению на n-ю степень .

3. Интегрирование оригинала сводится к делению изображения на .

.

4. Теорема запаздывания. Для любого положительного

.

5. Теорема о свертке. Если  и - оригиналы, а  и - их изображения, то

.

Интеграл правой части называется сверткой функций  и , который обозначают *

.

    6. Теорема о предельных значениях. Если - оригинал, а - его изображение, то

,

и при существовании предела ,

справедливо записать

.

    2.4. Запись дифференциальных уравнений в символическом виде.

    Будем рассматривать следующую систему

 

                              

                                                     Рис.2.6

    Пусть в общем случае линейная система описывается дифференциальным уравнением n-го порядка

... ... ,

где  и  соответственно входной и выходной сигналы системы. Преобразуем левую и правую части этого уравнения по Лапласу. В результате получим следующее дифференциальное уравнение в символическом виде

        , (2.11)

где  - оператор дифференцирования.

Введем обозначения

= ,

= .

Тогда уравнение (2.11) можно записать в более компактно

 

.

 

    2.5. C тандартная форма записи линейных дифференциальных

             уравнений

    Принято, что линейные дифференциальные уравнения не выше второго порядка записываются в стандартной форме, а именно:

- члены уравнения, содержащие выходную величину и ее производные, записываются в левой части уравнения;

- все остальные члены уравнения, записываются справа;

- коэффициент при выходной величине делают равным единице;

- коэффициенты при входных и выходных величинах и их производных являются либо постоянными времени, либо коэффициентами передачи (усиления).

Рассмотрим дифференциальное уравнение в символическом виде

 

.

 

Разделим обе части этого уравнения на  и введем обозначения

, , , , .

Тогда

.

Здесь , , - имеют размерность времени и называются постоянными времени, и - безразмерные коэффициенты передачи (усиления).

 

 

    2.5. Передаточные функции.

    Передаточной функцией системы называется отношение выходного сигнала к входному, преобразованных по Лапласу при нулевых начальных условиях. Тогда передаточная функция рассматриваемой системы (Рис.2.6) равна

                            .                  (2.12)

 

    Рассмотрим систему

 

Рис.2.7.

Пусть ее поведение описывается следующим дифференциальным уравнением в символической записи

 

,

иначе

.

 

Приведем это уравнение к виду

.

Введем обозначения

,

.

Здесь

 - передаточная функция по входному сигналу,

 

 - передаточная функция по возмущающему воздействию.

    Если линейная система имеет несколько входов, то при определении передаточной функции по одному из входов, другие входы полагаются равными нулю.