Раздел 7 Устойчивость систем автоматического регулирования

 

§ 1Устойчивость АСР

Система автоматического регулирования, как любая динамическая система, характеризуется переходным процессом, возникающим в ней при нарушении ее равновесия каким-либо воздействием – это могут быть сигналы управления, настройки, помехи и т.д.

ПП зависит как от свойств системы, так и от вида возмущающего воздействия.

Одной из основных динамических характеристик является ее устойчивость.

Устойчивость системы - это ее способность переходить из исходного равновесного состояния в другое равновесное состояние после приложения внешнего воздействия и возвращаться к исходному состоянию равновесия после снятия этого воздействия.

Неустойчивая система не возвращается к состоянию равновесия, из которого она по тем или иным причинам вышла, а непрерывно удаляется от него или совершает вокруг него недопустимо большие колебания.

Если САР является линейной или линеаризованной, то под влиянием воздействия x(t) изменение переменной y(t) во времени является решением дифференциального уравнения:

Если в некоторый момент времени t1 воздействие x(t) с системы снять и предоставить систему самой себе, то изменение переменной y(t) во времени будет решение уравнения:

 - однородное диф. уравнение.

.

Решения уравнения могут иметь следующие виды:

ai – корни полинома = 1) ai – вещественные, y(t)=Aie-ait, где Ai –постоянные интегрирования, определяемые параметрами системы и начальными условиями.

2) ai±jbi- комплексно-сопряженные, y(t)= Aie-aitsin(bit+ji), где

Ai – начальная амплитуда,

ji – начальная фаза.

3) ai = 0, y(t)=A.

 

При рассмотрении однородного диф. уравнения достаточно, чтобы свободное движение (при нулевых начальных условиях) асимптотически стремились к нулю.

Условие устойчивости: корни характеристического полинома должны находиться в левой полуплоскости.

Непосредственное вычисление корней уравнения выше 4-го порядка затруднительно. Поэтому, для определения: устойчива ли система, пользуются критериями устойчивости, которые определяют условия необходимые и достаточные, для того чтобы корни характеристического уравнения системы имели отрицательную вещественную часть.

Критерии устойчивости

 

Критерии устойчивости можно разделить на две группы:

1. алгебраические (Рауса, Вышнеградского, Гурвица) – исследование полинома и его коэффициентов,

2. частотные (Найквиста, Михайлова) – работа с частотными характеристиками.

 

Критерий Гурвица.

Критерий Гурвица основам на построении специальных определителей характеристического уравнения, называемых определителями Гурвица. При составлении определителя Гурвица m-го порядка руководствуются следующими правилами:

выписывают по главной диагонали все коэффициенты от аm-1 до а0 в порядке убывания индексов;

дополняют все столбцы определителя вверх от диагонали коэффициентами с последовательно убывающими индексами, вниз – с последовательно возрастающими индексами;

на место коэффициентов, индексы которых больше m и меньше нуля ставят 0.

Критерий Гурвица формулируется следующим образом: для того, чтобы САР была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все определители, составленные по коэффициентам характеристического уравнения были положительными, при этом аm должно быть больше 0.

Критерий Михайлова.

 - функция Михайлова.

Графическое отображение этой функции называется годографом Михайлова.

По критерию Михайлова, чтобы система была устойчивой, необходимо чтобы годограф Михайлова пи изменении частоты от 0 до +¥ последовательно описывал m квадрантов в положительном направлении на комплексной плоскости и начинался с положительной полуоси.

 

Критерий Найквиста.

Об устойчивости системы судят по характеристике разомкнутой системы. Для того, чтобы система была устойчива, АФЧХ разомкнутой системы не должна охватывать точку с координатами (-1, jw).

Если при какой-то частоте АФЧХ пересекает отрицательную полуось – это значит, что сдвиг фаз между входным и выходным сигналами составляет -p.

Если мы замкнем ООС, тогда на этой частоте ООС станет положительной и, поведение системы будет зависеть от коэффициента передачи на этой частоте. Если к>1, то колебания будут затухать, если <1, то процесс будет расходящимся.

Если АФЧХ разомкнутой системы охватывает точку (-1, jw), то система неустойчива.

Устойчивость замкнутой системы определяется следующим образом:

m – положительных корней.

Пересечение сверху вниз – положительный переход, снизу вверх – отрицательный переход.

Для того, чтобы замкнутая система была устойчива сумма положительных и отрицательных переходов (с учетом знака) = m/2.

Запас устойчивости

Параметры системы необходимо выбирать так, чтобы система была устойчивой не только при принятых дифференциальных уравнениях элементов системы и величинах входящих в них параметров, но и при действительных зависимостях выходных величин элементов от входных. А это можно достигнуть тогда, когда система имеет достаточный запас устойчивости.

По критерию Гурвица Δi>Δзапаса(заданное положительное число).

По критерию Михайлова – годограф не должен пересекать окружность заданного радиуса R.

По критерию Найквиста

Rзапаса – запас устойчивости по амплитуде, Rзапаса=0.5¸0.9 gзапаса – запас устойчивости по фазе, gзапаса =30°¸60°.

üЗапас устойчивости ýобеспечивает оптимальный þпроцесс регулирования

Следствием из критерия Найквиста является логарифмический критерий устойчивости.

wпер>wсреза – система устойчива, wпер<wсреза – система неустойчива

Запас устойчивости: q_з – по фазе 30°¸60°, L_з – по амплитуде 6¸20 дБ.

 

 

Области устойчивости

На практике важно знать: при изменении в каком диапазоне параметров АСР (коэффициент усиления, коэффициент обратной связи, постоянные времени) система остается устойчивой.

Этот диапазон изменений называется областью устойчивости системы.

Например:

4 корня – эти корни должны лежать в левой полуплоскости, чтобы система была устойчивой.

Для определения области устойчивости по какому-либо параметру этот параметр обозначают в характеристическом уравнении в общем виде, затем разрешают это уравнение относительно этого параметра, получают:

Строят кривые при изменении w (-¥;+¥) – эта кривая называется границей D-разбиения по параметру.

 

Пример:

A[0,6]®k[-1,5]®k[0,5] – k нужно выбирать максимальным, чтобы была меньше статическая ошибка и не забывать о запасе устойчивости.