Интерполяционный полином Лагранжа

Если узлов не слишком много, можно построить полином, значе­ния которого совпадают с заданными узловыми значениями функ­ции. Такой полином называется интерполяционным. Лагранжем бы­ла получена формула интерполяционного полинома, в которой число узловых точек и их расположение может быть произвольным. Сте­пень полинома Лагранжа на единицу меньше числа узловых точек, в которых задаются значения функции. График полинома (интерпо­лирующей функции) проходит точно через заданные значения. Они могут располагаться как равномерно по оси х, так и неравномерно. Для расчета по формуле Лагранжа требуется два вектора значений, которые задают таблицу интерполируемой функции, а также сама формула Лагранжа (см. пример 2).

 

Сплайн-интерполяция

Если узлов достаточно много, то лучшие результаты дает сплайн-интерполяция. При ней исходная функция заменяется частями куби­ческих полиномов, проходящих через три смежные узловые точки. Коэффициенты полинома рассчитываются так, чтобы непрерывными были первые и вторые производные. Линия, которую описывает сплайн-функция напоминает по форме гибкую линейку, закрепленную в узловых точках (splain - гибкая линейка)

Для осуществления сплайновой аппроксимации необходимо пред­варительно вычислить вектор вторых производных интерполяцион­ной кривой в задаваемых точках. Для этой цели в MathCAD преду­смотрена, функция

cspline (V_x, V_y),

ее аргументами являются векторы V_x и V_y, содержащие наборы значе­ний х и у, через которые нужно провести кубический сплайн. Когда получен вектор вторых производных, например, оператором присва­ивания:

V_s = cspline (V_x, V_y),

можно найти интерполируемое значение в произвольной точке х с помощью функции

interp (V_s, V_x, V_y , х).

(см. пример 3).

 

Линейная регрессия

Широко распространенной задачей обработки данных является представление их совокупности линейной зависимостью. Эта зави­симость проводится таким образом, чтобы сумма квадратов отклоне­ний от прямой линии была бы минимальной (аппроксимация методом наименьших квадратов). Задача нахождения линейной зависимости

у(х) = а + b • х

носит название задачи линейной регрессии. Для ее решения в MathCAD требуется обращение к двум функциям:

intercept (V_x, V_y) — возвращает значение параметра а (смещение);

slope (V_x, V_y) - возвращает значение параметра b (наклон).

Параметрами обеих функций являются векторы значений абсцисс и ординат.

 

Задание 1.

По таблице значений проинтерполировать табличную функцию тре­мя способами, построить графики интерполирующих функций.

Порядок выполнения задания

1. Ввести таблицу значений в. виде двух столбцов V_x и V_y , первый из которых содержит значения аргументов, а второй — значения интерполируемой функции.

2. Определить число точек, в наборах данных с помощью функции length.

3. Определить линейную интерполяционную функцию Ylin(x) с по­мощью системной функции linterp.

4. Определить интерполирующую функцию f ( x ) в форме полинома Лагранжа.

5. Задать множество значений аргумента для построения графи­ков функций.

6. Построить на одном рисунке графики полученных функций.

7. Вывести два значения полученных функций: одно в узле, другое вне узлов.

8. Реализовать сплайн-интерполяцию с построением сплайн-функции и выводом значений в тех же точках.

Варианты

 

№	i	1	2	3	4	5	6	7
п/п	xi	1.20	1.50	1.75	2.15	2.55	2.75	3.00
1	yi	-0.67	-0.065	0.177	0.606	1.154	1.221	2.308
2	yi	-9.56	-9.33	-9.11	-9.02	-8.71	-8.63	-8.57
3	yi	1.261	1.280	1.291	1.306	1.321	1.336	1.352
4	yi	-0.860	-0.818	-0.779	-0.641	-0.504	-0.370	-0.137
5	yi	33.11	34.81	36.59	38.47	40.44	37.52	34.70
6	yi	8.65	8.29	7.95	7.64	7.36	7.09	6.84
7	yi	0.991	0.951	0.913	0.876	0.807	0.775	0.744
8	yi	4.162	4.255	4.353	4.455	4.561	4.673	4.795
9	yi	4.48	5.47	6.68	8.16	9.97	12.18	10.61
10	yi	0.173	0.198	0.199	0.257	0.201	0.259	0.198
11	yi	20.19	19.61	18.94	18.17	17.30	16.31	15.19
12	yi	8.67	8.29	7.96	7.65	7.36	7.08	6.85
13	yi	5.04	5.18	5.32	5.47	5.63	5.81	5.98
14	yi	8.65	8.29	7.95	7.64	7.36	7.09	6.84
15	yi	6.62	6.40	6.19	6.00	5.82	5.65	5.49

 

Задание 2.

По заданной таблице значений найти регрессионные коэффициен­ты, построить график линейной регрессии и определить точку мак­симального отклонения.

Варианты

 

№	i	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
п/п	xi	-2.0	-1.5	-1.0	-0.5	0.0	0.5	1.0	1.5	2.0	2.5
1	yi	11.3	13.2	14.1	14.1	13.0	10.9	7.9	3.8	-1.3	-7.4
2	yi	-3.2	-1.8	-0.4	0.9	2.3	3.6	5.0	6.4	9.1	11.3
3	yi	11.0	8.5	6.7	5.2	4.0	3.1	2.4	1.9	1.5	1.2
4	yi	-20.5	-16.2	-12.3	-8.9	-6.0	-3.6	-1.7	-0.3	0.6	1.0
5	yi	1.1	1.3	1.5	1.6	1.7	1.7	1.8	1.9	1.9	.0
6	yi	6.4	4.4	2.7	2.3	0.3	-0.5	-0.9	-1.0	-0.8	-0.2
7	yi	-7.7	-6.7	-5.8	-4.9	-3.9	-3.0	-2.0	-1.1	-0.1	1.2
8	yi	0.93	0.81	0.73	0.65	0.65	0.65	0.52	0.51	0.52	0.52
9	yi	-4.9	-1.9	0.5	2.1	3.1	3.5	3.1	2.1	0.5	-1.9
10	yi	1.06	0.93	0.44	0.35	0.35	0.33	0.22	0.23	0.24	0.12
11	yi	10.2	3.8	-1.1	-4.7	-7.0	-7.9	-7.4	-5.6	-2.4	2.1
12	yi	-0.2	0.0	0.2	0.5	0.7	0.9	1.2	1.2	1.6	1.9
13	yi	0.8	1.1	1.4	1.6	1.8	1.9	2.1	2.3	2.5	3.1
14	yi	14.8	10.9	7.4	4.4	2.0	0.0	-1.5	-2.5	-2.9	-2.4
15	yi	0.0	0.1	0.2	0.3	0.5	0.6	0.7	0.9	1.2	1.6

 

Порядок выполнения задания

1. Ввести таблицу значений в виде двух столбцов V_x и V_y , первый из которых содержит значения аргументов, а второй эксперимен­тальные значения.

2. Определить число точек в наборах данных с помощью функции rows.

3. Вычислить регрессионные коэффициенты с помощью функций intercept и slope

4. Определить регрессионную линейную функцию у(х).

5. Задать ранжированную переменную i, принимающую значения от 0 до n.

6. Найти максимальное по абсолютной величине отклонение от линейной регрессии.

7. Найти номер точки максимального отклонения i_max.

8. Построить график линейной регрессии совместно с эксперимен­тальными значениями, отметив точку максимального отклонения.

 

Пример:

Задание наборов значений аргумента и функции:

   

Определение числа промежутков:

 

Линейная интерполяция

Значения в отдельных точках:

2. Интерполяция полиномом Лагранжа:

Формула Лагранжа:

Значения в отдельных точках:

Диапазон изменения аргумента:

Графики функций:

 

Сплайн-интерполяция

Значения в отдельных точках:

График сплайн-функции:

 

Линейная регрессия

Задание наборов значений аргумента и функции:

Определение числа промежутков:

Вычисление и вывод смещения:

Вычисление и вывод наклона прямой:

Определение линейной регрессии как функции у(х):

Нахождение максимального отклонения:

Определение номера точки максимального отклонения:

Вывод полученного значения:

Задание диапазона для аргумента с шагом 0.1 для построения графика:

 

 

График линейной регрессии (крестиком помечена точка максимального отклонения):