Порядок выполнение задания

 

1. Задать начальное значение функции как элемент вектора (т.е. в виде переменной с нулевым значением индекса).

2. Создать функцию D ( x , y ), которая вычисляет значение пере­менной при заданных значениях зависимой переменной и неизвестной функции.

3. Определить начальное и конечное значения отрезка интегриро­вания.

4. Указать число шагов интегрирования.

5. Вычислить численное решение при помощи функции rkfixed:

z := rkfixed ( у , a, b, N, D). Просмотреть результат вычислений — ма­трицу z с двумя столбцами, первый из которых содержит значе­ния независимой переменной, а второй - соответствующие значения функции.

6. Вычислить численное решение при учетверенном числе разби­ений.

7. Создать функцию для вычисления точного решения.

8.  Построить графики приближенных (двух) и точного решения.

9. Изменить число шагов N и проследить за решениями.

Варианты:

№	Уравнение	X0	Xend	y(x0)	Точное решение
1		0	1.5	1	y = sin x + cos x
2		1	3	1	xy = 1 - ln
3		0	4	1	y = (2x + 1) ln +1
4		1	3	e	y = ex(ln +1)
5					x
6		1	2	e
7		1	3	0
8		1	5	1/e	y = x2e-x
9		-1	1	e	y = e-x
10		1	5	(2 ln 2)-1
11		1	3	0
12		1	2	0
13		1	2	(2e)-1/2	2y2x4ex = 1
14		1.1	4		y2 = x2 - 1
15		0	2	0	y = x(1 + x2)

 

 

Задание 2.

Решить задачу Коши у'₁= f₁(x , y₁, y₂), у'₂ = f₂(x , y₁, y₂), у₁(a)= y_0,1, y₂(a)= y_0,2 на отрезке [а, b] с постоянным шагом h =0.1. Изобразить графики решений, вычисленных с шагами h  и 2 h .

Варианты

 

№	f1(x, y1, y2)	f2(x, y1, y2)	y0,1	y0,2	a	b
1			-1	1	0	4
2			1	0	0	5
3			0.2	0	-1	1
4			0	0	0	4
5			0.5	-0.5	-1	3
6			-0.6	2	2	5
7			0	0	-1	3
8			0.5	1.2	0	2
9			1	1	1	3
10			0.8	3.5	2	4
11			1	-1	2	4
12			0	0	0	2
13			-2	-1	1	4
14			0	1	-1	1
15			-1	1	0	4

 

 

Пример:

Решение дифференциальных уравнений.

 

1. Дифференциальное уравнение первого порядка

Задание начального условия (элементу вектора из одной компоненты):

Задание правой части уравнения :

Задание промежутка интегрирования:

Задание числа разбиений промежутка:

Расчет решения и запись его в матрицу z:

Точное решение (для сравнения с численным):

Графики численного (сплошная линия) и точного (пунктирная линия) решений:

Дифференциальное уравнение второго порядка

Задание начальных условий:

 

Задание правых частей уравнений:

 

Задание числа разбиений промежутка интегрирования:

 

Расчет с заданным числом разбиений:

 

Расчет с учетверенным числом разбиений:

 

Два решения в конечной точке:

 

Графики решений с разным числом разбиений:

 

Лабораторная работа № 10

Разложение в ряд

 

Цель: научиться выполнять разложение в ряды при помощи пакета MathCAD

 

С помощью символьного процессора MathCAD возможно получить разло­жение выражения в ряд Тейлора по любой переменной x в точке x=0, т. е. представить выражение в окрестности точки x суммой вида a₀+a₁x+а₂х²+а₃х³+.. . Здесь а_х— некоторые коэффициенты, не зависящие от х, но, возможно, являющиеся функциями других переменных, входящих в ис­ходное выражение. Если выражение имеет в точке х=0 особенность, то соот­ветствующее разложение называют рядом Лорана.

Чтобы разложить выражение в ряд:

1. Введите выражение.

2. Выделите значение переменной, по которой требуется получить разложе­ние в ряд.

3. Выполните команду Symbolics / Variable / Expand to Series (Символика Переменная / Разложить в ряд).

4. В появившемся диалоговом окне введите желаемый порядок аппроксимации (Order Approximation) и нажмите кнопку ОК.

Результат разложения появится под выражением.

 

ВНИМАНИЕ

Не забывайте, что разложение строится только в точке х=0. Чтобы получить разложение в другой точке х=а, можно, к примеру, подставить вместо перемен­ной х значение х-а.

 

 Результат разложения в ряд Тейлора

 

Дляразложения в ряд альтернативным способом, с помощью оператора символьного вывода, используйте ключевое слово series, вставляя его одноимённой кнопкой панели Symbolic(Символика). После ключевого слова series , через запятую, указывается имя переменной, по которой производится разложение, и порядок аппроксимации. Сравнение функции и ее разложений в ряды с разными порядками аппроксимации (для k=b=1). Видно, что разложение в ряд хорошо работает в окрестности точки х=о, а по мере удаления от нее все сильнее и сильнее отличается от функции.