РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Цель: научиться решать дифференциальные уравнения в среде MathCAD.

При решении дифференциальных уравнений искомой величиной является функция. Для обыкновенных дифференциальных уравнений неизвестная функция — функция одной переменной. Чтобы решение было единственным, задают дополнительные условия — начальные или краевые, которые определяют тип задачи: задача Коши или кра­евая задача. Рассмотрим, как в MathCAD решается задача Коши.

Все встроенные функции MathCAD предназначены для решения за­дачи Коши нормальных систем дифференциальных уравнений; зада­ча Коши для одного уравнения сводится к решению задачи для си­стемы. Задача Коши ставится следующим образом:

y’₁ = f₁(x, y₁, y₂, … , y_n), y₁(0) = y_0,1,

y’₂ = f₂(x, y₁, y₂, … , y_n), y₂(0) = y_0,2,

……………………….

y’_n = f_n(x, y₁, y₂, … , y_n), y_n(0) = y_0,n.

Численное решение этой задачи состоит в построении таблицы приближенных значений y_{i ,1} , y_{i ,2}…, y_{i ,, n}, решения y ₁ ( x ), у₂(х),…у _n (х) на отрезке [x₀, x_N] в точках x₀, x₁, x_N, которые называются узлами сетки.

Систему, содержащую производные высших порядков и разрешен­ную относительно старших производных искомых функций, путем введения новых неизвестных функций можно привести к нормальному виду. В частности, для дифференциального уравнения n-го порядка

 у⁽ⁿ⁾ = f ( x ,у, у', у''..., y^(n-1)), полагая у' =: u ₁ (х), у" = u ₂ (х),....,  y^(n-1) = y_n-1, у⁽ⁿ⁾ = f_{n (} x , y , u ₁ …, u_n-1), будем иметь эквивалентную нор­мальную систему из n дифференциальных уравнений первого поряд­ка относительно функций y, u ₁, u ₂ ,..., u_n-1:

y’(x) = u₁(x),

u’₁(x) = u₂(x),

…………..

u’_n-2(x) = u_n-1(x),

u’_n-1(x) = f(x, y(x), u₁(x), …, u_n-1(x)).

В MathCAD задачу Коши для нормальной системы можно решить с помощью разных встроенных функций, среди которых наиболее про­стыми являются функции, реализующие широко распространенный метод Рунге-Кутта четвертого порядка:

Наиболее часто используются функции, которые ищут решение широко распространенным методом Рунге-Кутта четвертого поряд­ка.

rkfixed (y , x_a , x_b , Npoints, D) - решение задачи Коши на отрезке с постоянным шагом;

Rkadapt (y , x_a , x_b , Npoints, D) - решение задачи Коши на отрезке с автоматическим выбором шага.

Параметрами обеих функций являются:

у — вектор начальных условий размерности п, где п — поря­док дифференциального уравнения или число уравнений в системе. Для дифференциального уравнения первого порядка вектор началь­ных условий вырождается в одну точку у0.

x_a , x_b - граничные точки интервала, на котором ищется решение дифференциальных уравнений. Начальные условия, задаваемые в векторе начальных условий - это значения решения в точке x_a.

Npoints - число точек, не считая начальной, в которой ищет­ся приближенное решение. Этот параметр определяет число строк (1 + Npoints) в матрице результатов.

D ( x , y ) - функция, которая возвращает в виде вектора из п эле­ментов значения первых производных неизвестных функций (правые части дифференциальных уравнений системы).

В результате решения получается матрица, число столбцов кото­рой на, единицу больше порядка дифференциального уравнения или числа уравнений в системе. Первый столбец матрицы содержит зна­чения узлов, т.е. точек, в которых ищется решение. Второй столбец содержит значения искомой функции в узлах, а оставшиеся столб­цы значения производных, начиная с первой и до (n-1)-й включи­тельно. Для дифференциального уравнения первого порядка матрица решения состоит всего из двух столбцов: значений узлов и значений найденного решения в. этих узлах. Вывод таблицы на экран, как обычно, осуществляется, набором символа обычного равенства«i»; при этом если щелкнуть по полю появившейся таблицы - то можно просмотреть ее всю, используя стрелки прокрутки.

В качестве примера рассмотрено решение задачи Коши для уравнения первого порядка:

у'(х) = у(х) - 2х/у( x), на промежутке от 0 до 6 с начальным условием y(0) = 1. Для этого уравнения известно точное решение задачи: . Варьируя число разбиений проме­жутка интегрирования, можно проследить, как сходится приближен­ное решение к точному. Обращение к функции rkfixed и полученные результаты приведены в примере.

Для решения уравнений порядка выше первого, помимо разрешения уравнения относительно старшей производной, необходимо свести за­дачу к задаче для нормальной системы дифференциальных уравне­ний. Например, задачу Коши для уравнения второго порядка у"(х) +у'(х) - 2у(х) = 0 с начальными условиями у(0) = 1- у'(0) = 3 преобразуем в нормальную систему, вводя обозначения у' = и₁(х), y " = и₂( x ). Поскольку y "(x ) = - у'( x )+ 2 у(х), то получим систему:

у'(х) = u₁(х),           у(0) = 1,

у'₁ (х) = - u₁(х) + 2у, u₁(0) = 3.

В примере показано, как задать исходные векторы началь­ных значений и первых производных (векторы U и D ). С помощью функции rkfixed на отрезке от 0 до 6 получено два решения: с задава­емым числом разбиений (N) и учетверенным числом разбиений (4N). Сравнение двух решений приведено на графике.

Задание 1.

Решить на отрезке [ x ₀ , x_end ] задачу Коши для уравнения первого порядка с постоянным шагом. Получить и изобразить графики ре­шений, вычисленных с шагами h , и 4h. Сравнить с точным решением.