Нормальная форма числа

 

Число в форме с плавающей точкой имеет следующий вид: A = ± M · g ^{± p}    Где m – мантисса числа, а p – порядок (степень) числа в С/С с основанием системы Q.

Для удобства работы над числами с плавающей точкой принята нормальная форма записи этих чисел, в которой мантисса числа должна удовлетворять соотношению: ≤ m < 1

Пример:

 

A = 0,7 · 10¹ = 0,07 · 10² = 0,007 · 10³ =….

 

Здесь:

 

0,7 ; 0,07 и 0,007 – нормализованные мантиссы

а 10 – основания

Если в записи числа старшая цифра мантиссы отлична от нуля, то число называется нормализованным, а если равна нулю, то число называется ненормализованным.

С технической точки зрения в ЭВМ удобно иметь не порядок, а характеристику числа, значение которой с порядком связанно соотношением P* = (64 + P)₁₀ = (40+ P)₁₆

P*-характеристика

P- порядок

 

Пример:

В операциях с плавающей точкой используется следующее представление данных:

 

Знак Мантиссы	Характеристика	Мантисса
0	1                       7	8      31

 

A = - 0,11101 · 10¹⁰⁰

Знак Мантиссы	Характеристика	Мантисса
1	1000100	1110100….0

 

Пример:

Представить в разрядной сетке, в формате с плавающей точкой

A = -247, 5₁₀

Представить число в 16 С/С

-257,5₁₀  = -F7,8

У полученного числа найти нормализованную мантиссу и характеристику

-F7,8 = -0,F78 · 10²

m= -0,F78       p*= 40 + 2 = 42₁₆

 

В разрядной сетке число выглядит следующим образом:

 

Знак Мантиссы	Характеристика	Мантисса
1	10010	1111011110000…..0

 

P* = 42₁₆

4 = 0100

2 = 0010

Вывод:

Числа представленные в форме с фиксированной точкой, позволяют увеличить точность представления числа. А форма представления с плавающей точкой, за счёт уменьшения точности представления, увеличивает диапазон представления чисел.

Всё обработка чисел в ЭВМ производится автоматически, но так как для выполнения действий требуемой операции отдельно для мантиссы и отдельно для характеристики, то это вызывает усложнение устройства и замедляет выполнение операций.

 

Основы математической логики

 

Математические подходы к вопросам логики были впервые указаны Джорджем Булем. В честь него алгебру высказываний называют так же «Булевой Алгеброй». Алгебра высказываний или Булева алгебра, составляет основу математической логики. При чём здесь используется тот же язык формул, который характерен для математики вообще. Алгебра логики, или Булева алгебра – это раздел математики нашедший большое практическое применение в технической области знаний. Она используется для решения сложных математических задач, при написании программ и алгоритмов, разработке компьютеров, электронных устройств и так далее.

Математическая логика имеет непосредственную связь с теорией проектирования ЭВМ.

Поведение различных компонентов ЭВМ может быть описано с помощью логических функций и законов математичкой логики. В этой особой Булевой алгебры для описания схем используется особый тип алгебры, в которой все переменные и функции могут принимать только 2 значения (0 и 1).

Объекты и операции алгебры высказываний

Высказывание – это истинное или ложное повествовательное предположение. Повествовательное предложение, в котором говорится об одном единственном событии называют простым высказыванием.

Высказывание принято обозначать большими буквами латинского алфавита.

Если высказывание A истинно, будем писать A = 1. Если высказывание A ложно, будем писать A = 0

В алгебре высказываний определены действия над высказываниями, выполняя которые получаются сложные высказывания.

Объединение двух или нескольких высказываний в одно с помощью союза И называется операцией логического умножения или конъюнкция.

Возможны следующие варианты записи конъюнкции:

F = A _^ B

F = A · B

F = A & B

 

A	A	A & B
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

 

 

 

Истинность логического произведение устанавливается с помощью таблицы:

 

Логическое умножение истинно тогда и только тогда, когда истинны все входящие в него простые высказывания.

Объединение двух или нескольких высказываний в одно с помощью союза «ИЛИ» называется операцией логического сложения или дизъюнкцией.

Приняты две форма записи дизъюнкции:

 

F = A _\/ B

F = A + B

 

Таблица истинности имеет следующий вид:

 

A	A	A \/ B
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

 

 

Логическое сложение истинно тогда и только тогда, когда хотя бы одно из входящих в него простых высказываний истинно.

 

Присоединение союза «НЕ» к этому высказыванию называется операцией отрицания.

Отрицание обозначается:

  _

F = A

F = ˥A

 

Таблицы истинности

 

Высказывания, образованные при помощи нескольких операций логики (сложения, умножение и отрицание), будем называть сложными. Истинность всего сложного высказывания устанавливается с помощью таблиц называемых Таблицами истинности.

Таблица истинности – это таблица которая содержит всевозможные комбинации значений входных переменных вместе с соответствующими им значениями выходных переменных.