Построение таблиц истинности для сложных функций

 

1. Выписать значения которые могут принимать наборы переменных этой функции

2. Определить порядок выполнения жоементарных функций и заполнить ими заголовки столбцов

3. Выполнить элементарные функции для каждого набора переменных

4. Вычислить окончательное значение функции в окончательном наборе

 

Пример:

Построить таблицу истинности для следующей функции:

              _

F = A + B · C

 

A	B	C	_ C	B · C	_ F = A + B · C
0	0	0	1	0	0
0	0	1	0	0	0
0	1	0	1	1	1
0	1	1	0	0	0
1	0	0	1	0	1
1	0	1	0	0	1
1	1	0	1	1	1
1	1	1	0	0	1

 

 

Пример:

 

Посмтроить таблицу истинности для следующей функции:

          _       _

F = (A + B)&(B + C)

 

A	B	C	_ B	_ A+B	_ C	_ B+C	_          _ F = (A + B) & (B + C)
0	0	0	1	1	1	1	1
0	0	1	1	1	0	0	0
0	1	0	0	0	1	1	0
0	1	1	0	0	0	1	0
1	0	0	1	1	1	1	1
1	0	1	1	1	0	0	0
1	1	0	0	1	1	1	1
1	1	1	0	1	0	1	1

 

 

Алгебра логики и её законы

 

1) Закон одинаковости:

A + A = A

A & A = A

2) Закон коммутативности :

A + A = B + A

A & A = B & A

3) Закон ассоциативности :

A + (B + C) = (A + B) + C = B + (A + C)…

A · B · C = (B · C) · A = (C · A) · B…

 

4) Закон дистрибутивности:

A · (B + C) = A · B + A · C

A + B & C = (A + B)(A + C)

5) Закон двойного отрицания:

=

A = A

 

6) Закон Де Моргана:

_ _ ____ _ _    ____

A + B = (A & B) A + B = (A + B)

 

7) Законы поглощения:

 

A + A & B = A

A & (A + B) = A

 

8) Законы определения действий с логическими константами 0 и 1

 

A + 0 = A   A + 1 = 1

 

A · 0 = 0    A · 1 = A

_               _

0 = 1         1 = 0

_                _

A + A = 1  A · A = 0

 

9) Законы Блейка - Порецкого :

  _

A + A · B = A + B

_            _

A + A · B = A + B

  _ _     _

A + A · B = A + B

_      _ _ _

A + A · B = A + B

 

 

Пример 1:

 

(A + B) · (A + C) = A · A + A · C + B · A + B · C = A + A · B + B · C = A (1 + C) + A · B + B · C = A + A · B + B · C = A (1 + B) + B · C = A + B · C

 

Пример 2:

  _ _     _                         _ _                                _                               _            _                  _

F = A · B + A · B + A · B + A · C = B (A + A) + A · B + A · C = B + A · B + A · C = A + B + A · C = B + A + A · C = B + A(1 + C) =

      _

 = A + B

 

Пример 3:

 

По заданной функции: а) построить ТИ

                                       Б) упростить

 

   

F = A · (   )

 

А)

 

A	B	C	_ A	B · C	_ A + B · C		F = A · (   )
0	0	0	1	0	1	0	0
0	0	1	1	0	1	0	0
0	1	0	1	0	1	0	0
0	1	1	1	1	1	0	0
1	0	0	0	0	0	1	1
1	0	1	0	0	1	0	0
1	1	0	0	0	0	1	1
1	1	1	0	1	1	0	0

 

 

Б)

 

 

        

F = A · (   )

 

Упростим отдельно скобку:

 

 

  

      _

Пусть A = X

И пусть B · C = Y

 

Тогда:

                                     

  =  = ·  =  ·  = a · (  · c) = a · (  + )

 

F = a · (a · (  + )) = a · (  + )

 

 

 

Формы представления логических функций.

 

Для удобства представления логических функций существуют 2 основные формы:

1. Дизъюнктивная нормальная форма (ДНФ)

2. Конъюнктивная нормальная форма (КНФ)

ДНФ – это сумма произведений образованных из переменных и их отрицаний. ДНФ не содержит скобок.

КНФ – это произведение логических сумм состоящих из  переменных и их отрицаний.

Если ДНФ функции F (x₁,x₂,x₃…x_n) от N переменных в каждой своей конъюнкции содержат N переменных или их отрицания, то это совершенная дизъюнктивная нормальная форма – СДНФ.

Каждая функция имеет одну единственную переменную, и она может быть получена из таблицы истинности путём записи через знак логического сложения всех наборов переменных, на которых эта функция определена как истинная.

Пример 1:

По заданной функции построить ТИ. Затем составить СДНФ, упростить его, а так же упростить исходное выражение.

1) Составим ТИ:

A	B	C		B∙C		+	F
0	0	0	1	0	1	1	0
0	0	1	1	0	1	1	0
0	1	0	1	0	1	1	0
0	1	1	1	1	0	1	0
1	0	0	0	0	1	1	1
1	0	1	0	0	1	1	1
1	1	0	0	0	1	1	1
1	1	1	0	1	0	0	0

 

2) Составим СДНФ:

 

3) Упростим исходное выражение:

 

 

Пример 2:

1) Составим ТИ:

A	B	C							F
0	0	0	0	0	0	1	1	0	1
0	0	1	0	0	0	1	1	1	1
0	1	0	0	0	0	1	1	0	1
0	1	1	0	1	1	0	1	1	1
1	0	0	0	0	0	1	0	0	1
1	0	1	0	0	0	1	0	0	1
1	1	0	1	0	1	0	0	0	0
1	1	1	1	1	1	0	0	0	0

 

2) Составим и упростим СДНФ:

3) Упростим исходное выражение:

 

Логические схемы:

 

Техническая реализация логических функций может быть различна, но существует единая система графического представления логических функциональных элементов. Каждой элементарной логической операции (И; ИЛИ; НЕ), можно поставить в соответствие элементарную логическую схему (элемент), или вентиль.