Exсel. Решение нелинейных уравнений и систем

 

Пример 1. Найти корни полинома x³ - 0,01x² - 0,7044x + 0,139104 = 0.

Для начала решим уравнение графически. Известно, что графическим решением уравнения f(x)=0 является точка пересечения графика функции f(x) с осью абсцисс, т.е. такое значение x, при котором функция обращается в ноль.

Проведем табулирование нашего полинома на интервале от -1 до 1 с шагом 0,2. Результаты вычислений приведены на рисунке, где в ячейку В2 была введена формула:

= A2^3 - 0,01*A2^2 - 0,7044*A2 + 0,139104. На графике видно, что функция три раза пересекает ось Оx, а так как полином третьей степени имеет не более трех вещественных корней, то графическое решение поставленной задачи найдено. Иначе говоря, была проведена локализация корней, т.е. определены интервалы, на которых находятся корни данного полинома: [-1,-0.8], [0.2,0.4] и [0.6,0.8].

 

Рис. 2.23. Графическое решение уравнения

Теперь можно найти корни полинома методом последовательных приближений с помощью команды Сервис / Подбор параметра. Относительная погрешность вычислений и предельное число итераций (например, 0,00001 и 1000) задаются на вкладке Сервис / Параметры.

Рис. 2.24. Диалоговое окно подбора параметра

После ввода начальных приближений и значений функции можно обратиться к пункту меню Сервис  / Подбор параметра и заполнить диалоговое окно следующим образом. В поле Установить в ячейке дается ссылка на ячейку, в которую введена формула, вычисляющая значение левой части уравнения (уравнение должно быть записано так, чтобы его правая часть не содержала переменную).

В поле Значение вводим правую часть уравнения, а в поле Изменяя значения ячейки дается ссылка на ячейку, отведенную под переменную. Заметим, что вводить ссылки на ячейки в поля диалогового окна Подбор параметров удобнее не с клавиатуры, а щелчком на соответствующей ячейке.

 

После нажатия кнопки ОК появится диалоговое окно Результат подбора параметра с сообщением об успешном завершении поиска решения, приближенное значение корня будет помещено в ячейку А14.

 

Рис. 2.25. Панель результата подбора параметра

 

Два оставшихся корня находим аналогично. Результаты вычислений будут помещены в ячейки А15 и А16.

 

Рис. 2.26. Корни полинома

Пример 2. Решить уравнение e^x - (2x - 1)² = 0.

Проведем локализацию корней нелинейного уравнения.

Для этого представим его в виде f(x) = g(x) , т.е. e^x = (2x - 1)² или f(x) = e^x, g(x) = (2x - 1)², и решим графически.

Графическим решением уравнения f(x) = g(x) будет точка пересечения линий f(x) и g(x).

Построим графики f(x) и g(x). Для этого в диапазон А3:А18 введем значения аргумента. В ячейку В3 введем формулу для вычисления значений функции f(x): = EXP(A3), а в С3 для вычисления g(x): = (2*A3-1)^2.

Результаты вычислений и построение графиков f(x) и g(x) в одной графической области показаны на рисунке.

 

Рис. 2.27. Образец решения уравнения

 

На графике видно, что линии f(x) и g(x) пересекаются дважды, т.е. данное уравнение имеет два решения. Одно из них тривиальное и может быть вычислено точно:

Для второго можно определить интервал изоляции корня: 1,5 < x < 2.

Теперь можно найти корень уравнения на отрезке [1.5,2] методом последовательных приближений.

 

Введём начальное приближение в ячейку Н17 = 1,5, и само уравнение, со ссылкой на начальное приближение, в ячейку I17 = EXP(H17) - (2*H17-1)^2.

Далее воспользуемся пунктом меню Сервис / Подбор параметра и заполним диалоговое окно Подбор параметра.

Результат поиска решения будет выведен в ячейку Н17.

Рис. 2.28. Диалоговое окно подбора параметра

 

Рис. 2.29. Образец решения уравнения

Пример 3. Решить систему уравнений:

Рассмотрим, как можно решить систему уравнений: 

F₁(x)=0,

F₂(x)=0,
…
F_n(x)=0

с помощью решающего блока (пункт меню Сервис / Поиск Решения), который позволяет решать не только оптимизационные задачи, но и обычные уравнения и системы уравнений.

Для решения этой задачи ее можно сформулировать одним из следующих способов:

Найти минимум (максимум) функции  при системе ограничений, заданной в виде равенств F_i(x) = 0;

Найти минимум функции

В этом случае задача решается без ограничений.

1-й способ. В ячейки А1 и А2 вводим числа 0 (здесь мы будем хранить x₁ и x₂). В ячейки В1 и В2 вводим ограничения: В1 = 2*А1-3*А2, В2 = А1+А2. В ячейку С1 введем функцию цели (эту ячейку мы будем минимизировать):

С1 = СУММ(B1:B2). Воспользуемся командой Сервис / Поиск Решения и заполним появившееся диалоговое окно так, как показано на рисунке. В результате решения поставленной задачи получим решение системы исходных уравнений: x₁ = 1,6, x₂ = 2,4.

 

Рис. 2.30. Ввод ограничений на поиск решения

2-й способ. В ячейках D1 и D2 будем хранить переменные x₁ и x₂. В ячейки E1 и E2 введем уравнения системы: E1 = 2*D1-3*D2+4, E2=D1+D2-4. В качестве функции цели в ячейку F1 введем формулу = E1^2+E2^2. Обратимся к решающему блоку и введём условие задачи оптимизации. В результате получаем следующее решение системы: x₁ = 1,600000128, x₂ = 2,39999949.

Рис. 2.31. Поиск решения без ограничений

Пример 4. Решить систему уравнений:

 

Прежде чем воспользоваться описанными выше методами решения систем уравнений, найдем графическое решение этой системы. Отметим, что оба уравнения системы заданы неявно и для построения графиков, функций соответствующих этим уравнениям, необходимо разрешить заданные уравнения относительно переменной y.

Для первого уравнения системы имеем:

Выясним ОДЗ полученной функции:

 

Второе уравнение данной системы описывает окружность.

В таблице приведен фрагмент с формулами, которые необходимо ввести в ячейки для построения линий, описанных уравнениями системы.

 

Рис. 2.32. Образец заполнения таблица для построения графиков системы

 

Точки пересечения линий изображенных на рисунке являются графическим решением системы нелинейных уравнений.

Рис. 2.33. Образец построения графиков системы

 

Нетрудно заметить, что заданная система имеет два решения. Поэтому процедуру поиска решений системы необходимо выполнить дважды, предварительно определив интервал изоляции корней (см. ПРИМЕРЫ 1 и 2) по осям Оx и Oy . В нашем случае первый корень лежит в интервалах (-0.5;0)_x и (0.5;1)_y, а второй - (0;0.5)_x и (-0.5;-1)_y.

Далее поступим следующим образом.

Введем начальные значения переменных x и y, формулы отображающие уравнения системы и функцию цели, так как показано в таблице.

 

Рис. 2.34. Исходные значения для поиска решения

 

Теперь дважды воспользуемся командой Сервис / Поиск решения, заполняя появляющиеся диалоговые окна, так как показано ниже.

 

Рис. 2.35. Образец заполнения диалоговых окон для поиска решения

 

Ниже приведены результаты вычислений. Сравнив полученное решение системы с графическим, убеждаемся, что система решена верно.

 

Рис. 2.36. Образец решения системы уравнений