Форматы представления чисел в ЭВМ

При проведении математических расчетов числа в ЭВМ могут быть представлены с помощью естественной и нормальной форм записи.

Примером записи в естественной форме может служить вещественное число 173,856. Для записи такого числа машинное слово (операнд) делится на две части (на два поля). Первое поле отводится для записи целой части числа, второе — для записи дробной части числа. Старший разряд операнда предназначается для указания знака числа. Разряды машинного слова нумеруются справа – налево.

В вычислительной технике принято отделять целую часть числа от дробной части точкой. Так как положение точки между целой и дробной частями числа четко определено, то такое представление чисел называют представлением с фиксированной точкой.

На рис.4.1. дана иллюстрация формата чисел с фиксированной точкой.

 

Рис. 4.1.

 

Недостатком формы с фиксированной точкой является малый диапазон представления чисел. В современных ЭВМ в этой форме записывают только целые числа. При записи целых чисел отпадает необходимость отводить поле для записи дробной части числа (см. следующий рисунок).

Разряд кода числа, в котором размещается знак, называется знаковым разрядом. Знаковый разряд размещается в старшем разряде машинного слова. Знак положительного числа кодируется двоичной цифрой 0, а знак отрицательного числа – цифрой 1.

Рис. 4.2.

 

Нормальная форма записи числа n имеет следующий вид:

где m — мантисса числа; р — порядок; d — основание системы счисления.

Приведем пример записи числа в нормальной форме:

.

Порядок p указывает местоположение в числе точки, отделяющей целую часть числа от дробной части. В зависимости от значения порядка p точка перемещается (плавает) по мантиссе. Такая форма представления чисел называется формой с плавающей точкой.

Следующий рисунок иллюстрирует форму числа с плавающей точкой на примере 32-х разрядного машинного слова.

 

Рис. 4.3.

 

Например, пусть m = 0.3, d = 10, а порядок p будем брать разным:

Из приведенного примера видно, что благодаря изменению порядка точка перемещается (плавает) по мантиссе. При этом если порядок отрицательный, точка смещается по мантиссе влево, а если положительный, то - вправо.

В нормальной форме машинное слово делится на два поля. В одном поле записывается мантисса числа, а во втором — указывается порядок числа.

Диапазон представления чисел с плавающей точкой значительно больше диапазона представления чисел с фиксированной точкой. Однако быстродействие ЭВМ при обработке чисел с плавающей точкой гораздо ниже, чем при обработке чисел с фиксированной точкой. Этим объясняется одновременное существование двух форм чисел.

Последовательность нескольких битов или байтов называют полем данных [7].

В ЭВМ могут обрабатываться поля постоянной и переменной длины.

Перечислим поля постоянной длины:

полуслово — 1 байт;      

слово — 2 байта;                

двойное слово — 4 байта;

расширенное слово — 8 байт.

Числа с фиксированной точкой чаще всего имеют формат слова и полуслова, а числа с плавающей точкой — формат двойного и расширенного слова.

Поля переменной длины могут иметь любой размер от 1 до 256 байт. При этом поле должно состоять из целого числа байтов.

 

Пример 1. Записать число -193₁₀ = -11000001₂ в формате слова со знаком и фиксированной точкой.

Решение.

N разряда	15	14	13	12	11	10	9	8	7	6	5	4	3	2	1	0
Число	1	0	0	0	0	0	0	0	1	1	0	0	0	0	0	1

Примечание.

В старшем разряде (пятнадцатом) указан знак числа.

Для чисел с плавающей точкой под знак и порядок отводится восемь старших бит числа. Для представления как положительного, так и отрицательного порядков применяют смещенный порядок. При этом машинный порядок Мр представляют со смещением на 64 разряда по отношению к фактическому порядку p:  Мр = p + 64.

Таким образом при фактическом порядке p равном нулю машинный порядок Мр равен 64, а при фактическом порядке равном +63D машинный порядок равен своему максимальному  значению 127D.

Пример 2. Записать число -193₁₀ = -11000001₂ = -0.11000001*2⁸ в формате двойное слово и плавающей точкой.

 Решение.

Здесь мантисса m = -0.11000001, фактический порядок p =8₁₀ = 1000₂ . 

Машинный порядок: Мр = p + 64 = 1000₂ + 1000000₂= 1001000₂.

 

Двоично-десятичные числа могут быть представлены в ЭВМ полями переменной длины в так называемых упакованном и распакованном форматах.

Двоично-десятичная система счисления получила большое распространение в современных ЭВМ ввиду легкости перевода в десятичную систему счисления и обратно. Она исполь­зуется при решении задач учетно-статистического характера. В этой системе счисления все десятичные цифры отдельно кодируются четырьмя двоичными цифрами (тетрадами) и в таком виде записывают­ся последовательно друг за другом.

Пример 3. Записать десятичное число 9703 в двоично-десятичной системе счисления.

Решение.

 

1001

0111

0000

0011

 

В упакованном формате для каждой десятичной цифры отводится по 4 двоичных разряда (полубайта), при этом знак числа кодируется в крайнем правом полубайте числа (1100 — знак "+" и 1101 — знак "-").

 

Структура поля двоично-десятичного упакованного формата:

Цф

Цф

...

Цф

Знак

 

Здесь и далее: Цф — цифра, Знак — знак числа

Упакованный формат используется обычно в ЭВМ при выполнении операций сложения и вычитания двоично-десятичных чисел.

В распакованном формате для каждой десятичной цифры отводится по целому байту, при этом старшие полубайты (зоны) каждого байта (кроме самого младшего) заполняются кодом 0011 (в соответствии с ASCII-кодом), а в младших (левых) полубай­тах обычным образом кодируются десятичные цифры. Старший полубайт (зона) самого младшего (правого) байта используется для указания кода знака числа.

 

Структура поля распакованного формата:

Распакованный формат используется при вводе-выводе информации в ЭВМ, а также при выполнении операций умножения и деления двоично-десятичных чисел.

 

Пример 4. Представить число -193D в упакованном и распакованном форматах.

Решение.

В упакованном формате:

 

0001

1001

0011

1101

 

В распакованном формате:

 

0011

0001

0011

1001

1101

0011