Соприкасающаяся плоскость кривой. Длина дуги кривой.
Спецглавы геометрии
Методические указания к практическим занятиям и самостоятельной работе для студентов направления подготовки 44.03.01
Курган 2017 Кафедра: «Фундаментальной математики и методики преподавания математики»
Дисциплины: «Спецглавы геометрии» (направление 440301.62 «Математическое образование»)
Составили: канд. физ.-мат. наук О.Н. Хмеляр
Утверждены на заседании кафедры «19» октября 2017 г.
СОДЕРЖАНИЕ
Введение……………………………………………………………………………...4 Раздел 1 Дифференциальная геометрия..……………………………………….…5 Тема 1 Дифференциальная геометрия.…………………………………………….5 1 Геометрия кривых в евклидовом пространстве ………………………………...5 2 Геометрия поверхностей в евклидовом пространстве ..……………………….11 Список литературы.................................................................................................15 ВВЕДЕНИЕ Настоящее пособие составлено в соответствии с программой дисциплины «Спецглавы геометрии» и предназначено для студентов направления Педагогическое образование «Математическое образование». Здесь представлены все темы, которые выносятся на практические занятия и самостоятельную работу студентов. Для каждой темы указаны вопросы для повторения и задачи для решения. Также приведены основные теоретические положения и образцы решения типовых задач. По усмотрению преподавателя из раздела «Упражнения для решения» отбираются задачи для решения в аудитории и для самостоятельной работы студентов. Раздел 1 Дифференциальная геометрия Тема 1 Дифференциальная геометрия Геометрия кривых в евклидовом пространстве Вопросы теории 1. Вектор – функция скалярного аргумента. 2. Регулярные кривые. 3. Касательная к кривой. 4. Нормальная плоскость к линии. 5. Длина дуги. Натуральный параметр. 6. Кривизна кривой. Репер Френе. 7. Формулы Френе. 8. Кручение кривой. 9. Кривизна и кручение в произвольной параметризации. Вектор-функция скалярного аргумента Пусть - множество точек на прямой, плоскости или в пространстве. Говорят, что на множестве задана вектор-функция, если с каждой его точкой M сопоставлен вектор . Если - множество точек на прямой, то вектор-функция , заданная на U , является вектор-функцией одного скалярного аргумента: Определение: Пределом вектор-функции при называется вектор , для которого Определение: Вектор-функция называется непрерывной при , если Определение: Производной вектор-функции в точке называется предел (если существует). Задача: Доказать, что если то Решение: По условию задачи Отсюда и из неравенcтва вытекает, что
Касательная к кривой Если векторное уравнение кривой , то уравнение касательной прямой в точке Если кривая задана уравнениями то уравнение касательной прямой в точке Если плоская кривая задана уравнением то уравнение касательной прямой в точке Задача: Составить уравнение касательной и нормали к линии в точке Решение: Если плоская кривая задана уравнением то уравнение касательной прямой в точке кривой имеет вид Применительно к нашей задаче получим и, тогда уравнение касательной примет вид . Направляющий вектор нормали кривой в точке перпендикулярен направляющему вектору касательной, поэтому можно положить Воспользовавшись уравнением прямой с заданным направляющим вектором и походящей через заданную точку, получим - уравнение нормали кривой в точке Ответ: , .
Соприкасающаяся плоскость кривой. Длина дуги кривой. Если кривая задана уравнением или уравнениями то уравнение соприкасающейся плоскости в точке имеет вид: или (1) Определение: Главная нормаль кривой – нормаль кривой, лежащая в соприкасающейся плоскости. Бинормаль кривой - нормаль кривой, перпендикулярная соприкасающейся плоскости. Если кривая задана уравнением или параметрическими уравнениями , то длина дуги кривой определяется или Задача: Найти длину дуги винтовой линии от точки пересечения с плоскостью до произвольной точки . Решение: Точка пересечения винтовой линии с плоскостью определяется из ее уравнения при то есть Поэтому находим длину дуги линии Ответ: Задача: Составить уравнение соприкасающейся плоскости, бинормали и главной нормали линии в точке Решение: Пусть - уравнение линии в векторной форме, тогда отсюда Тогда уравнение (1) соприкасающейся плоскости примет вид: Упрощая, получим искомое уравнение Уравнение главной нормали примет вид: или . Ответ:
Популярное: Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... Организация как механизм и форма жизни коллектива: Организация не сможет достичь поставленных целей без соответствующей внутренней... Почему стероиды повышают давление?: Основных причин три... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (227)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |