Геометрия поверхностей в евклидовом пространстве
Вопросы теории 1 Касательная плоскость к поверхности. 2 Нормаль к поверхности. 3 Первая квадратичная форма поверхности. Задачи. 4 Вторая квадратичная форма поверхности. 5 Кривизна линий на поверхности. 6 Формула Эйлера. Главные направления, главные кривизны, полная и средняя кривизны поверхности. 7 Типы точек поверхности Касательная плоскость поверхности Если гладкая поверхность заданы вектором уравнением или параметрическими уравнениями, то уравнение касательной плоскости поверхности в точке или (2) Если поверхность задана уравнением, то уравнение касательной плоскости этой поверхности в точке имеет вид: Нормалью поверхности в точке называется прямая, проходящая через точку перпендикулярно касательной плоскости в точке . Задача: Написать уравнение касательной плоскости и нормали в точке поверхности Решение: Пусть - векторное уравнение поверхности, тогда., Отсюда Найдем точку касания как решение системы уравнений: Решая ее, находим Тогда и уравнение (2) касательной плоскости имеет вид: Упрощая это уравнение, получим Вектор нормали касательной плоскости является направляющим вектором нормали в точке Поэтому уравнение нормали имеют вид: Ответ: Первая квадратичная форма поверхности. Пусть - гладкая поверхность, - векторное уравнение . Квадратичная форма называется первой квадратичной формой поверхности . Для коэффициентов первой квадратичной формулы введем обозначения: Таким образом, 1 Пусть - кривая на поверхности , задана уравнениями Тогда выражение длины дуги кривой с концами в точках дается формулой 2 Если - кривые, лежащие на поверхности , то углом между в их общей точке называется угол между касательными к этим кривым, проведенным через точку P. Пусть и - уравнения кривых на поверхности , заданной уравнением . Обозначим дифференцирование по и вдоль кривых через и , тогда . 3 Пусть - гладкая поверхность, S- ее площадь, тогда
Задача: Дана поверхность 1 Найти первую квадратичную формулу 2 Вычислить дифференциал длины дуги для линий заданных уравнениями 3 Вычислить длину дуги линии между точками ее пресечения с линиями Решение: Векторное уравнение поверхности ; в данной задаче 1 Отсюда Следовательно, Первая квадратичная форма поверхности имеет вид: 2 Так как то Уравнение линии Вдоль Следовательно, Совершенно аналогично находится дифференциал дуги для линии Уравнение линии значит Поэтому 3
Популярное: Почему люди поддаются рекламе?: Только не надо искать ответы в качестве или количестве рекламы... Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... Как выбрать специалиста по управлению гостиницей: Понятно, что управление гостиницей невозможно без специальных знаний. Соответственно, важна квалификация... Организация как механизм и форма жизни коллектива: Организация не сможет достичь поставленных целей без соответствующей внутренней... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (189)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |