Лабораторная работа № 2.

Дифференциальная функция распределения результатов экспериментальных исследований

Качественный признак показывает, является ли технологический процесс, с точки зрения обеспечения безопасности труда прогрессивным или нет. Качественный признак может отражать также число несовершенств технологического процесса, например, на определённом его этапе.

При выборочном контроле по качественному признаку в выборку из технологического процесса попадает некоторое случайное число несовершенных этапов, которые могут привести к травме. Вероятности попадания в выборку того или иного количества несовершенных этапов технологического процесса составляют дифференциальную функцию распределения.

Пусть технологический процесс состоит из N этапов, D из которых несовершенные. Если взять из технологического процесса случайную бесповторную выборку этапов объёмом n, то вероятность того, что в выборке ровно m несовершенных этапов, равна

 , где, например,

Совокупность этих вероятностей для m=0,1,2,3,…,n при заданных N, D, nописывается дифференциальной функцией гипергеометрического распределения.

Величина P ( m ) может быть рассчитана в программе Excel при помощи статистической функции ГИПЕРГЕОМЕТ. Диалоговое окно, открывающееся при выборе этой функции, имеет четыре строки для ввода данных:

Пример_S. Подсказка к этой строке указывает, что необходимо ввести количество успешных испытаний в выборке. При этом под количеством успешных исследований понимается количество элементов выборки, обладающих определённым признаком, в нашем случае – количество несовершенных этапов в выборке.

Размер_выборки. Вводится размер выборки.

Ген_совокупность_s. Подсказка к этой строке указывает, что надо ввести количество успешных исследований в генеральной совокупности. В нашем случае это количество несовершенных этапов в технологическом процессе.

Размер_ген_совокупности. Вводится объём технологического процесса.

При очень больших значениях параметров расчёт гипергеометрического распределения может оказаться затруднительным даже при использовании компьютера. Однако, если n£ 0,1N, то гипергеометрическое распределение можно приближённо заменить биномиальным (которое имеет место при повторной случайной выборке), расчёты которого более просты. При биномиальном распределении

,

где q=D/N – несовершенных этапов в технологическом процессе.

При биномиальном распределении величина P(m) может быть рассчитана в программе Excel при помощи статистической функции БИНОМРАСП. Диалоговое окно, открывающееся при выборе функции, имеет четыре строки для ввода данных:

Число_s. Подсказка к этой строке указывает, что необходимо ввести количество успешных исследований. При этом под количеством успешных исследований понимается количество этапов выборки, обладающих определённым признаком, в нашем случае – количество несовершенных этапов в выборке.

Испытания. Предлагается ввести число независимых исследований, т.е. объём выборки.

Вероятность_s. Предлагается ввести вероятность успеха каждого исследования. В нашем случае это вероятность того, что случайно выбранное этап технологического процесса будет несовершенным, иными словами – уровень несовершенства.

Интегральный. Вводится истина, если рассчитывается значение интегральной функции распределения, и ложь, если рассчитывается значение дифференциальной функции распределения, т.е. в нашем случае – значение P(m).

Если q £ 0,1 и n £ 0,1N, что обычно и имеет место в практике статистического контроля, то биномиальное распределение, как и гипергеометрическое, можно приближённо заменить ещё более простым для расчётов распределением Пуассона, в котором

, гдеl = nq – математическое ожидание числа несовершенных этапов в выборке.

При распределении Пуассона величина P(m) может быть рассчитана в программе Excel при помощи статистической функции ПУАССОН. Диалоговое окно, открывающееся при выборе функции, имеет три строки для ввода данных:

X. Количество событий, в нашем случае - количество несовершенных этапов технологического процесса в выборке.

Среднее. Среднее ожидаемое численное значение, в нашем случае – параметр l, т.е. математическое ожидание числа несовершенных этапов технологического процесса в выборке.

Интегральный. Вводится истина, если рассчитывается значение интегральной функции распределения, и ложь, если рассчитывается значение дифференциальной функции распределения, т.е. в нашем случае – значение P(m).

Пример 2.1. Из технологического процесса, состоящего из 50 этапов (операций), 20 из которых несовершенные, взята выборка объёмом 10 этапа. Построить график дифференциальной функции распределения вероятностей, используя гипергеометрическое распределение.

Открываем новую книгу Excel. В ячейку А1 вводим заголовок работы «Лаб. работа 2. Распределение показателей качества по качественному признаку». Далее вводим исходные данные (Рис. 2.1).

Рис.2.1. Исходные данные для расчёта распределения в примере 2.1.

Поскольку график представляет собой зависимость P(m), то для его построения понадобятся диапазоны данных m и P(m)гипер. Соответствующие заголовки вводим в ячейки А7 и В7. В диапазон А8:А38 вводим количество несовершенных этапов технологического процесса в выборке от 0 до 30 с шагом 1.

В ячейке В8 рассчитываем вероятность для m=0 при помощи статистической функции ГИПЕРГЕОМЕТ. В первую строку диалогового окна вводим ссылку на ячейку А8. Во вторую строку вводим ссылку на ячейку В5. В третьей строке делаем ссылку на ячейку В4. В четвёртой строке делаем ссылку на ячейку В3.

В результате в ячейке В8 получаем значение 0,209681. Формулу из ячейки В8 копируем в диапазон В9:В38. Перед копированием вводим в формуле абсолютную адресацию тех ячеек, ссылки на которые не должны меняться при копировании – ячеек В3, В4, В5.

При построении графика выбираем диаграмму Точенаявида Позволяет сравнить пары значений, т.е. график будет представлять отдельные точки, не соединённые линией. Это связано с тем, что количество дефектных изделий в выборке – дискретная случайная величина, принимающая только целые значения.

На втором шаге создания диаграммы в качестве диапазона данных вводим диапазон А8:В15. Остальные значения P(m) можно на графике не использовать, поскольку они практически равны нулю, начиная с P (7), находящегося в ячейке В15.

После редактирования диаграммы получаем график, показанный вместе с расчётными данными на рис. 2.2.

Рис.2.2. Результаты расчётов и график дифференциальной функции

гипергеометрического распределения в примере 2.1.

Задание

1. Выполнить расчёты и построения в соответствии с примером.

2. На том же листе рабочей книги продолжить расчёты и построить графики дифференциальных функций биномиального распределения и распределения Пуассона с теми же параметрами, что и в примере. Сравнить значения вероятностей, рассчитанных по различным распределениям.

3. Как изменится наиболее вероятное число несовершенных этапов (операций) технологического процесса в выборке при увеличении объёма выборки до 40?

4. Измените исходные данные следующим образом: объём технологического процесса 200 этапов (операций), из них 50 несовершенных, объём выборки 40 этапов (операций). Какие из распределений при этом не будут поддаваться расчёту?

5. Сохранить файл рабочей книги на жёстком диске в своей папке.

Таблица 1.1.