ДИНАМИКА СИСТЕМЫ И ТВЕРДОГО ТЕЛА

ДИНАМИКА ТОЧКИ

 

Вопрос: отличие динамики от кинематики?

 

Кинематика рассматривает геометрические характеристики движения.

(какие?)

Динамика – раздел механики, в котором изучается движение материальных тел под  действием сил.

В динамике точки не учитывается форма тела.

Первый закон динамики. Материальная точка находится в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения, пока приложенные силы не заставят ее изменить это состояние.

 

Второй – основной закон динамики

Направление ускорения точки совпадает с направлением силы.

Третий закон - равенства действия и противодействия.

Дифференциальные уравнения движения точки в декартовых координатах

 

Дифференциальные уравнения в естественной системе координат (плоское движение)

(Что такое естественная система координат?)

 

ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ ТОЧКИ

Теорема об изменении количества движения точки в дифференциальной форме

(это основной закон динамики, только ускорение записано через производную скорости по времени).

Теорема об изменении количества движения точки в конечном виде

 – сумма импульсов сил, действующих на точку (как получено?).

 

ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ МОМЕНТА КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ (ТЕОРЕМА  МОМЕНТОВ)

Момент количества движения относительно центра О по абсолютной величине равен

                

Теорема моментов относительно центра О

Теорема моментов относительно оси Оz

РАБОТА СИЛЫ

Элементарная работа силы , приложенной в точке

 

Сила, направленная по нормали, работу не производит.

Если сила постоянна по модулю и направлению, а точка движется прямолинейно

Теорема об изменении кинетической    энергии точки в дифференциальной форме

 

 

Теорема об изменении кинетической

 энергии точки в конечной форме

КОЛЕБАНИЯ ТОЧКИ

Точка М движется под действием восстанавливающей силы F, направленной к    центру О

 

 

Из второго закона динамики получаем

Делим на m и обозначаем  

Получаем дифференциальное уравнение свободных колебаний (линейное однородное дифф.ур. второго порядка)

 

                   (1)

 

Общее решение уравнения (1) имеет вид

 

        (2)

Решение (2) можно привести к виду

 

               (3)

Здесь А – амплитуда;

– фаза колебаний;

α – начальная фаза колебаний.

k – круговая частота колебаний (совпадает с угловой скоростью вращения радиуса ОВ).

Период колебаний

 

                     (4)

Величины А и α определяются из начальных условий.

 

ДИНАМИКА СИСТЕМЫ И ТВЕРДОГО ТЕЛА

Механическая система – система точек или тел, положение или движение каждой из которых зависят от остальных точек.

Будем различать:

 

 – активные силы;

 – реакции связей;

 – внешние силы;

 – внутренние силы.

 

Из третьего закона динамики вытекает, что внутренние силы уравновешивают друг друга, поэтому главный вектор и главный момент внутренних сил равны нулю.

 

МАССА СИСТЕМЫ И ЦЕНТР МАСС

 

Масса системы      

 

Координаты центра масс системы определяются подобно определению центра тяжести плоских сечений:

 

 

Осевой момент инерции системы – это мера инертности тела при вращательном движении, так же, как масса при поступательном движении.

Радиус инерции определяется из формулы

 

1. Момент инерции диска массой М радиусом R

 

2. Тонкое кольцо радиуса R, массой М, ось проходит через центр кольца перпендикулярно его плоскости

 

3. Однородный стержень длиной L, массой M, ось проходит через конец стержня перпендикулярно его оси

 

 

Момент инерции однородного стержня относительно оси, проходящей через центр масс

 

Моменты инерции тела относительно параллельных осей (теорема Гюйгенса)

 – момент инерции системы (тела) относительно оси, проходящей через центр масс;

d – расстояние между осями.

 

Центробежный момент инерции

 

Ось симметрии – главная ось инерции для любой точки, лежащей на оси.

Ось OZ является главной осью, если

Оси, перпендикулярные плоскостям симметрии – тоже главные оси.

Моменты инерции относительно главных осей – главные моменты инерции.

Главные центральные моменты инерции – относительно главных осей, имеющих начало координат в центре тяжести.

(см. Тарг пример на стр. 272 и рис. 282 к нему)

 

 

ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ СИСТЕМЫ

Теорема о движении центра масс системы

Центр масс системы движется как материальная точка с массой, равной массе всей системы, к которой приложены все внешние силы.

Закон сохранения движения центра масс

Если сумма внешних сил равна нулю, центр масс системы движется с постоянной по модулю и направлению скоростью или остается в покое

 Если в начальный момент скорость центра масс равна 0, алгебраическая сумма произведений масс тел системы на их перемещения должна равняться нулю.

Пример. Определить, куда и насколько переместится лодка весом Р, если два человека весом Р_А и Р_В поменяются местами.

 

Решение. Проекция сил, действующих на ось х, равна нулю, значит центр масс системы должен остаться на месте, и сумма произведений масс (весов) на перемещения должна равняться нулю.

Отсюда              

Знак х зависит от соотношения весов Р_А и Р_В. При получении знака минус, лодка переместится влево.

 

ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ

Количество движения системы Главный вектор количеств движения точек системы

Количество движения системы можно выразить через движение центра масс

Количество движения характеризует только поступательную часть движения системы и не зависит от вращательного движения.

 

Теорема об изменении количества движения в дифференциальной форме

 

 

Или                   

 

Это теорема об изменении количества движения системы в интегральной форме.

Изменение количества движения системы за время от 0 до t₁ равно сумме импульсов внешних сил, действующих на систему за этот же промежуток времени.

 

Из закона сохранения количества движения следует: если сумма внешних сил, действующих на систему, равна нулю, вектор количества движения будет постоянен по модулю и направлению.

Пример. Пуля массой m, летящая со скоростью u, попадает в ящик с песком, установленный на тележке (их масса равна М). С какой скоростью будет двигаться тележка после удара?

 

Решение. Рассматриваем пулю и тележку, как одну систему. До удара пули количество движения      Q₀ = mu. После удара Q₁ = (m+M)v. Должно выполнятся условие  Q₀ = Q₁. Отсюда

 

 

Главный момент количеств движения (кинетический момент) относительно центра О это величина , равная геометрической сумме моментов количества движения всех точек системы относительно этого центра. Характеризует вращательное движение системы

Для твердого тела

I_z – момент инерции тела.

Если вектор  спроектировать на оси х, у, получим

 – центробежные моменты инерции.

Теорема об изменении главного момента количеств движения

Производная по времени от главного момента количества движения системы относительно центра О равна сумме моментов внешних сил относительно этого же центра.

 

ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ СИСТЕМЫ

Кинетическая энергия системы это скалярная величина Т, равная сумме кинетических энергий всех точек системы

Она зависит от поступательного и вращательного движения системы

Кинетическая энергия системы при поступательном движении

Кинетическая энергия системы при вращательном движении

Теорема: Изменение кинетической энергии системы на некотором перемещении равно сумме работ на этом перемещении всех внешних и внутренних сил, приложенных к системе.

(идеальные связи – стр. 309)