Порядок решения задач с использованием уравнений Лагранжа 2 рода.

 

Изучается движение механической системы с голономными (геометрическими) связями. Уравнения Лагранжа составляются по следующей методике:

1) устанавливаем число степеней свободы системы;

2) выбираем обобщенные координаты;

3) приводим расчетную схему системы в произвольном положении со всеми действующими силами (при идеальных связях только активными);

4) вычисляем обобщенные силы Q_i, при этом возможное перемещение направляем так, чтобы приращение по данной координате было положительным;

5) определяем полную кинетическую энергию системы в ее абсолютном движении;

6) выражаем кинетическую энергию через обобщенные координаты q_i и обобщенные скорости  ;

7) рассчитываем частные производные от Т по q_i и  и подставляем их в уравнения Лагранжа

8) интегрируя эти уравнения можно по заданным действующим силам и начальным условиям найти закон движения системы.

 

УСТОЙЧИВОСТЬ СОСТОЯНИЯ ПОКОЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ

 С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ В КОНСЕРВАТИВНОМ СИЛОВОМ ПОЛЕ

 

Состояние покоя мех. системы может быть устойчивым, неустойчивым и безразличным.

Устойчивое состояние – система, выведенная из состояния покоя будет совершать колебания около положения покоя (рис. 1, а).

Неустойчивое – при любом малом отклонении будет удаляться от положения покоя (рис. 1, б).

Безразличное – при отклонении остается в состоянии покоя (рис. 1, в).

 

 

Рис. 1

 

Критерий устойчивости состояния покоя для систем с голономными связями, находящихся в консервативном  силовом поле, устанавливается в зависимости от потенциальной энергии этих систем.

Уравнение равновесия для консервативной системы

                                 (1)

Из (1) следует, что положениям покоя консервативной системы соответствуют экстремальные значения потенциальной энергии системы. Но об устойчивости состояния покоя условие (1) не позволяет судить (сравнить рис. а, б).

Теорема Лагранжа – Дирихле.

Устойчивыми состояниями покоя консервативной системы являются те положения покоя, в которых потенциальная энергия системы достигает минимума.

Состояние покоя консервативной системы с одной степенью свободы определяется из условия

                                                                (2)

Минимум потенциальной энергии системы, определяющий устойчивое состояние покоя,  достигается при условии (рисунок а):

                                                            (3)

В положении покоя, показанном на рисунке б потенциальная энергия достигает максимума, и положение покоя является неустойчивым.

Пример. Определить условие устойчивости состояния покоя метронома (рис. ), представляющего собой маятник с двумя грузами А и В, вес которых G₁ и G₂, расположенных на расстоянии l₁ и l₂ от точки О. Вес стержня не учитывать.

 

 

Решение.

Примем за обобщенную координату угол ϕ между осью метронома и вертикалью. Проводим координатные оси Ох и Оу.

Запишем потенциальную энергию системы в поле сил тяжести

                                           (4)

Координаты у₁, у₂ равны

                                (5)

Из формул (4, 5)

                                   (6)

Найдем первую и вторую производные потенциальной энергии по координате ϕ

               (7, 8)

По уравнению (7) можно определить условия состояния покоя, т.е. когда

Это возможно в двух случаях:

1) если G₁l₁ – G₂L₂ = 0 или G₁l₁ = G₂L₂;                                                                             (9)

2) если sinϕ = 0, т.е. при ϕ = 0 или ϕ = 180^о.

При условии (9) наблюдается безразличное равновесие, так как нет ни минимума, ни максимума потенциальной энергии, поскольку из уравнения (8) следует, что

Из (8) следует, что при ϕ = 0 устойчивое состояние покоя будет при

Поэтому вес и расположение грузов должны удовлетворять условию

При ϕ = 180^о и G₁l₁ ˃ G₂L₂  cosϕ = - 1, поэтому

это означает, что состояние покоя метронома неустойчиво.

 

Пример 2.

По кольцу радиусом r скользит без трения кольцо В, к которому подвешен груз весом Q. Нить от груза Q проходит через кольцо В и блок А, на конце нити подвешен груз весом Р. Определить, при каких значениях угла ϕ система будет находиться в состоянии покоя и установить, какие из этих состояний покоя устойчивы.

 

Решение.

У системы одна степень свободы. За обобщенную координату примем угол ϕ. Проведем оси Ах и Ау через центр блока А.

Потенциальная энергия системы в поле сил тяжести равна

                                         (1)

Обозначив L длину нити BAD, а l расстояние от кольца В до центра тяжести груза Q, получим

                    (2, 3)

Подставляя (2, 3) в (1), получим

 (4)

Найдем первую и вторую производные от потенциальной энергии по обобщенной координате ϕ

  (5, 6)

Система находится в состоянии покоя под действием консервативных сил при условии                                                

Из формулы (5):

                                         (7)

Из (7) устанавливаем два условия возможного состояния покоя системы:

                               (8, 9)

Выполним проверку этих состояний на устойчивость. Для этого вторая производная в формуле (6) при данных значениях ϕ₁ ϕ₂ должна быть больше нуля.

Состояние покоя устойчиво, если

или

Второе состояние покоя:

(10)

Из второго условия следует:

Или                                        (                                      (11)

Из (10) с учетом (11) имеем:

Следовательно второе состояние покоя системы является неустойчивым.