АНАЛИТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА

2019-11-13

320

Обсуждений (0)

0.00 из 5.00 0 оценок

⇐ Предыдущая 1 234 5 6 Следующая ⇒

ПРИНЦИП ДАЛАМБЕРА

Выше рассматривались методы решения задач, основанные на законах Ньютона и вытекающих из них общих теоремах динамики.

Есть подход, основанный на других общих положениях, называемых принципами механики. Один из них – принцип Даламбера (ПД).

Рассмотрим материальную точку, на которую действует система активных сил и реакция связи N. Согласно второму закону динамики точка будет двигаться с ускорением .

Величина называется силой инерции. Она направлена противоположно ускорению.

Уравнение равновесия точки можно записать в виде

(1)

Если к действующим на точку силам присоединить силу инерции, точка будет находиться в равновесии. В этом и состоит ПД.

Внешне разница между основным законом динамики и ПД состоит только в том, что в ПД силы инерции вместе с другими силами находятся в одной части уравнения, которое записано в форме уравнения равновесия.

Эти уравнения, по существу динамические, а по виду статические, называются уравнениями кинетостатики. Решение динамических задач путем составления кинетостатических уравнений называется методом кинетостатики

Пример. Автомобиль массы 1000 кг движется по выпуклому мосту со скоростью 10 м/с. Радиус кривизны в середине моста 50 м. Определить силу давления автомобиля на мост в его середине .

Решение. Принимаем автомобиль за материальную точку, на которую действует сила тяжести Р и реакция моста N, сила тяги Fт, сила сопротивления Fс. В соответствии с принципом Даламбера прикладываем к ней силу инерции

Нормальное ускорение направлено к центру и равно (сила инерции направлена в противоположную сторону)

Проектируем силы на нормаль:

Получаем:

Давление автомобиля на мост численно равно реакции моста, оно меньше, чем вес автомобиля.

Максимальная скорость прохождения автомобиля через мост найдется из условия N = 0, т.е.

Если рассматривается система из n материальных точек, к внешним силам (активным и реакциям связей) нужно добавить внутренние силы. Тогда ПД для каждой точки примет вид

(2)

Из (2) следует принцип Даламбера для системы:

если к каждой точке системы присоединить действующую на нее силу инерции, система будет уравновешенной, и к ней можно применять уравнения статики.

У системы, находящейся в равновесии, главный вектор и главный момент (относительно любого центра О) равны нулю:

(3)

При этом суммы внутренних сил и моментов равны нулю.

Введем обозначения:

Главный вектор системы сил инерции .

Главный момент системы сил инерции

относительно центра О

Теперь уравнения (3) можно записать в виде

(4)

Из теоремы о движении центра масс

Из формулы (4) получаем главный вектор системы сил инерции

(5)

Если ускорение центра масс разложить на касательное и нормальное, получим

(6)

Аналогично из теоремы моментов и второго из уравнений (4) можно получить главный момент системы сил инерции

(7)

Приведение сил инерции твердого тела

1) Поступательное движение

Силы инерции приводятся к равнодействующей, проходящей через центр масс тела; вычисляется по формуле (5).

2) Вращательное движение (тело имеет плоскость материальной симметрии Оху)

На рисунке показано сечение, совпадающее с этой плоскостью, ось Оz перпендикулярна ей.

Силы инерции приводятся в точке О к силе, , вычисляемой по формуле (5) и

паре сил с моментом, равным (из второй формулы (7)):

(8)

3) Если ось проходит через центр масс, ускорение центра масс равно нулю и результирующая сила инерции равна нулю. Остается только пара сил, вычисляемая по формуле (8).

4) Плоскопараллельное движение.

Система сил инерции приводится к главному вектору сил инерции (формула 5) и паре с моментом по формуле 8, приложенными в центре масс.

ДИНАМИЧЕСКИЕ РЕАКЦИИ, ДЕЙСТВУЮЩИЕ НА ОСЬ ВРАЩАЮЩЕГОСЯ ТЕЛА.

УРАВНОВЕШИВАНИЕ ВРАЩАЮЩИХСЯ ТЕЛ

Предварительно получим формулы для вычисления проекций момента силы на оси координат. Из рис. 1 следует:

(1)

Рис. 1.

Теперь рассмотрим тело, вращающееся равномерно с угловой скоростью ω в подшипниках А и В (рис. 2). Оси Axyz вращаются вместе с телом. На тело действуют внешние силы .

Эти силы можно свести к главному вектору и главному моменту. Обозначим в системе координат Axyz проекции этих векторов на оси:

главный вектор

главный момент (ввиду того, что ω = const

Рис. 2.

По принципу Даламбера присоединим силы инерции, приведя их к точке А. Они сводятся к вектору и паре сил . Ввиду отсутствия углового ускорения проекции этих векторов на ось z равны нулю. Приняв АВ = b, запишем уравнения равновесия:

(2)

Ввиду того, что ω = const,

Главный вектор сил инерции , где – масса тела, – ускорение центра масс С, равное по величине ( расстояние от точки С до оси z, его проекции на оси равны Составляющие главного вектора сил инерции равны

(3)

Определение проекций на оси момента сил инерции ( выполняется с использованием формул (1). В результате получаем:

(5)

Здесь – центробежные моменты инерции.

Теперь формулы (2) примут следующий вид

(6)

По формулам (6) можно определить динамические реакции, действующие на ось равномерно вращающегося тела.

Если принять ω = 0, получим статические реакции. Динамические реакции могут быть значительно больше, чем статические.

Динамические реакции будут равны статическим при выполнении условий (условий динамической уравновешенности вращающегося тела:

(7)

(8)

Условие (7) означает, что центр масс должен лежать на оси вращения, т.е. ось должна быть центральной, а условие (8) – что ось вращения должна Az быть главной.

Причиной возникновения динамических реакций вращающихся тел являются силы инерции, возникающие при движении точек тел по окружности (рис. а).

Конструкция на рис. б: центр масс находится на оси, силы инерции грузов образуют уравновешенную систему сил и динамические реакции равны нулю. Выполняются оба условия (7, 8).

У конструкции на рис. в центр масс также находится на оси вращения, но не выполняется условие (8), поэтому возникнет динамическая реакция.

Центробежные моменты инерции характеризуют степень динамической неуравновешенности тела при вращении вокруг оси z.

Для тел, имеющих ось симметрии, центробежные моменты инерции, содержащие в индексах эту ось, равны нулю. Такие оси называются главными осями инерции, а осевые моменты инерции относительно этих осей – главными моментами инерции.

В каждой точке тела можно построить три главные оси инерции.

Главные оси инерции, построенные в центре масс, называются главными центральными осями инерции.

Для конструкции на рис. б ось Z является главной, а на рис. в – нет.

Для уменьшения динамических реакций быстровращающиеся тела подвергают уравновешиванию или балансировке.

Различают статическую и динамическую балансировку.

Цель статической балансировки – достижение условия (7), т.е.: Хс = Ус = 0. Данной операции подвергаются детали имеющие небольшие осевые размеры, например, диски колес автомобилей, маховики и т.п. (в этом случае значения Jxz и Jyz незначительны).

Процесс выполняется на станках для статической балансировки путем присоединения или удаления к детали точечной массы.

Пример.

Пусть центр масс детали смещен на расстояние ОС от оси вращения. Тогда, если установить тело на опору, после нескольких качаний тело установится в положении равновесия, и можно установить место расположения точечного груза.

Массу этого груза можно найти из условия

откуда , (М – масса детали, r –расстояние от точечной массы до оси вращения).

Расстояние ОС определяется путем измерения динамического давления на опору.

Так как получаем

Динамической балансировке подвергаются детали, имеющие большие осевые размеры – коленчатые и распределительные валы и т.п.

Процесс выполняется на специальных станках для динамической балансировки.

Динамическое уравновешивание вращающихся тел сводится к определению главных центральных осей инерции тела.

Динамическое уравновешивание основано на следующем положении:

Любую ось можно сделать главной центральной осью инерции путем прибавления к телу двух точечных масс.

Пусть имеем тело массой m, имеющего координаты центра тяжести и центробежные моменты инерции .

Прибавим к телу две массы m₁, m₂ с координатами

Их надо подобрать так, чтобы выполнялись условия (7, 8):

(9)

В этом случае ось станет главной центральной.

Пример. На валу коленвала двигателя установлены два одинаковых маховика А и В радиусом r = 0,5 м (рис. 3). Щеки и шейка вала принимаются как груз массой m = 21 кг, находящийся на расстоянии h = 0,2 м от оси. Размеры: b = 0,6 м, l = 1,4 м.

Определить массы m_A и m_B грузов, размещаемых на ободах маховиков для балансировки системы.

Рис. 3.

Решение. Координатные оси Oxyz проведены так, что плоскость Oxz является плоскостью симметрии коленвала. Ось у, перпендикулярная оси симметрии, является главной осью для точки О. Поэтому центробежный момент инерции (если сверху посмотреть на плоскость Оyz, увидим, что две одинаковые части коленвала лежат в 1 и 2 четвертях, т.е. имеют разные знаки).