Уравнения Максвелла для ближней и дальней зоны.

Для дальней зоны Iсм>Iпр	rotH = iweaE rotE = -iwmaH
Для ближней зоны	rotH =0 rotE = -iwmaH

Таким образом, необходимо учитывать распределение электромагнитного поля при создании помехозащищённых НСЭ с малыми потерями.

 

 

Уравнения Максвелла позволяют решить любую электродинамическую задачу при условии наложения граничных условий для сред, образующих НСЭ. Однако в большинстве случаев можно упростить решение задачи для ряда НСЭ, применяя законы теории цепей или законы геометрической оптики.

Основными соотношениями, определяющими возможность применения упрощённых методов расчёта НСЭ, является соотношение между передаваемой длиной волны и поперечными размерами НСЭ.

l >> a –КВАЗИСТАЦИОНАРНЫЙ РЕЖИМ ПЕРЕДАЧИ. Применяются законы теории цепей (Ома и Кирхгоффа).

l соизмеримо с a – ЭЛЕКТРОДИНАМИЧЕСКИЙ РЕЖИМ ПЕРЕДАЧИ. Применяется решение системы уравнений Максвелла.

l << a – КВАЗИОПТИЧЕСКИЙ РЕЖИМ ПЕРЕДАЧИ – это процесс передачи лучей или световых потоков (лучевой процесс). Для получения решений используется уравнение, законы Френеля и другие уравнения геометрической оптики.

Конструкции НСЭ и соответствующие режимы передачи отражены в таблице:

 

 

РЕЖИМ ПЕРЕДАЧИ	Частота, Гц	Длина волны	Тип волны	Тип НСЭ
КВАЗИСТАЦИОНАРНЫЙ	0 - 109	м, км	Т	ВЛС,СК
ЭЛЕКТРОДИНАМИЧЕСКИЙ	1010- 1012	см, мм	Enm Hnm	Волноводы, световоды, ЛПВ
КВАЗИОПТИЧЕСКИЙ	1013- 1015	мкм	HE, TH, гибридные волны, симметричные волны, E0m, H0m.	Волноводы, световоды, СК

В зависимости от типа НСЭ в дальнейшем будем использовать данные принципы теории расчёта применительно к конкретным условиям. Применим законы теории цепей для простейшей линии из двух однородных проводников в квазистационарном режиме.

Лекция №8

 

 

В соответствии с теорией электрических цепей двухпроводная линия представляет собой колебательный контур, состоящий из распределённых по длине линий параметров активного сопротивления R, индуктивности L, ёмкости C и проводимости изоляции G. Если данные параметры распределены по линии равномерно, то такая линия называется ОДНОРОДНОЙ. Большинство двухпроводных НСЭ являются однородными, поэтому данные параметры приводят к единицам длины линии: (Ф/км, Ом/км, См/км, Гн/км). Данные параметры линии называются ПЕРВИЧНЫМИ ПАРАМЕТРАМИ ПЕРЕДАЧИ и полностью определяют процесс передачи электромагнитной энергии по линии. Эквивалентной схемой двухпроводной НСЭ будет схема ФНЧ с распределёнными параметрами.

Рассмотрим эквивалентную схему двухпроводной НСЭ длиной l.

Z=R+iwL продольный параметр

Y=G+iwC поперечный параметр

Для решения данной системы возьмём вторые производные по dx от тока и напряжения. В итоге получаем систему второго порядка:

Подставим в полученную систему уравнений значения dU/dx и dI/dx из исходной системы уравнений. В результате получим:

 

Введём обозначение: g²=(R+iwL)(G+iwC) КОЭФФИЦИЕНТ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ЛИНИИ

С учётом данного обозначения:

 

Решение для данной системы будет одинаковым для I и для U.

Решение уравнения для U:

U=Ae^gx+Be^-gx

Из этого решения видно, что U в любой точке представляет собой сумму двух волн (волны, падающей от начала к концу линии, и волны, отражённой от конца линии). Подставим U в первую производную:

dU/dx=Age^gx-Bge^-gx=g(Ae^gx-Be^-gx)

Подставим полученное значение потерь в исходное уравнение системы:

-g(Ae^gx-Be^-gx)=I(R+iwL)

Разделим левую и правую часть на g:

-Ae^gx+Be^-gx=Izв

I=(Be^-gx-Ae^gx)/Zв

I=(Be^-gx)/Zв-(Ae^gx)/Zв=(Uпад+Uотр)/Zв,

Соотношение между этими волнами будет характеризовать Zв

Uпад/Iпад=Uотр/Iотр=Zв

Значит волновое сопротивление линии одинаково для любой линии (как для падающей, так и для отражённой) и измеряется в Ом.

Для нахождения постоянных интегрирования приравняем X=0, то есть будем рассматривать начало линии:

A=(U₀-I₀Z_B)/2        B=(U₀+I₀Z_B)/2

Подставим постоянные интегрирования в решения уравнений:

 

 

Так как chgx=(e^gx+e^-gx)/2 и shgx=(e^gx-e^-gx)/2, то решение можно записать в виде:

 

Данное решение справедливо для любой нагрузки. В реальных линиях связи обычно выполняют согласование, как в начале, так и в конце линии, то есть выполняют условие: Z₀=Z_B=Z_l. Для согласования линии выполняется условие отсутствия отражённой волны, то есть вся энергия от генератора, передаваемая по линии, полностью поглощается нагрузкой. Это наиболее оптимальный режим работы линии. Для него решение упрощается и имеет следующий вид:

При распространении волны тока и напряжения по согласованной линии происходит затухание этих волн пропорционально величине коэффициента распространения и длине линии.

Где a-коэффициент затухания линии, b-коэффициент фазы линии.

Коэффициент распространения g и волновое сопротивление Z_B называют вторичными параметрами распространения. Они полностью зависят от первичных параметров и наряду с ними определяют процесс распространения электромагнитной волны по линии. Исходя из основного уравнения однородной линии при условии согласования нагрузок, можно записать:

 

1Нп=8,68*1Дб    1Дб=0,115Нп

При подстановке формулы первичных параметров с размерностью, соответствующей системе СИ (Ом/км, Ф/км, Гн/км, См/км) затухание получается в Нп. Коэффициент фазы b соответствует изменению фазы на длине линии 1км.

Если рассматривать графически процессы изменения тока и напряжения в линии длиной l, то такое изменение будет соответствовать уменьшению вектора напряжения по величине и фазе при распространении по линии:

a ,Дб	0 ,1	1	2	3	4	5	7	8	9	…...	40	60
P0/Pi	1,02	1,26	1,58	1,99	2,51	3,16	5,01	6,31	8		104	106

Со вторичными параметрами непосредственно связана скорость распространения по линии:

 

 

 

 

 

На частоте »800 Гц аргумент достигает максимума. Знак минус у аргумента показывает, что в кабельных цепях преобладает ёмкостная составляющая по сравнению с индуктивной, особенно на низких частотах.

 

 

Рассмотренные частотные зависимости и формулы соответствуют однородным согласованным линиям, в которых созданы идеальные условия для передачи электромагнитных сигналов. В реальности встречаются линии, не согласованные по нагрузкам и неоднородные по длине. В таких линиях процесс передачи электромагнитной волны связан не только с собственными потерями в линии, определяемыми собственным затуханием, но и рабочим затуханием линии, связанным с процессом отражения волны от неоднородности.

 Величина РАБОЧЕГО ЗАТУХАНИЯ НЕСОГЛАСОВАННОЙ ЛИНИИ определяется соотношением:

 

P₁- коэффициент отражения в начале линии, P₂- коэффициент отражения в конце линии.

-1<P<1-режим XX

1-затухание за счёт несогласованности в начале линии.

2- затухание за счёт несогласованности в конце линии.

3-затухание за счёт взаимодействия несогласованности в начале и в конце линии.

В общем случае рабочее затухание может оказаться меньше собственного из-за фазовых соотношений и неоднородностей. Однако в большинстве случаев рабочее затухание больше собственного, поэтому дальность связи на несогласованных линиях меньше из-за большего затухания. Для несогласованных линий вместо параметра волнового сопротивления вводят параметр ВХОДНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ ЛИНИИ. Количественно:

 

 

Такое изменение Z_BX затрудняет согласование линии с аппаратурой передачи и приводит к амплитудно-частотным искажениям сигнала. Таким образом, в неоднородных несогласованных линиях не только не уменьшается дальность связи, но и увеличиваются искажения передаваемых сигналов, то есть снижается качество связи. В такой линии действие неоднородностей приводит к появлению двух дополнительных потоков энергии. Это обратный поток энергии , направленный к началу линии и попутный поток, направленный к концу линии вместе с основным потоком, но имеющий другие фазовые составляющие.

Неоднородности в линиях связи подразделяются на ВНУТРЕННИЕ и СТЫКОВЫЕ. ВНУТРЕННИЕ вызываются дефектами в технологии изготовления кабеля и приводят к местным отклонениям волнового сопротивления в линии от номинального значения. Величина внутренних неоднородностей количественно оценивается коэффициентом отражения:

 

 

Стыковые неоднородности неизбежно возникают при соединении строительных длин кабеля в муфтах, так как невозможно подобрать по параметрам идеальные строительные длины. Наличие внутренних и стыковых неоднородностей, так же, как и несогласованность по нагрузке в начале и в конце линии участвуют в создании обратного и попутного потока энергии, искажающего передаваемый сигнал.

ВЫВОД: В наиболее благоприятном состоянии находятся линии, согласованные по нагрузкам и имеющие минимальные внутренние и стыковые неоднородности.

 

Лекция №9

 

 

Конструктивные особенности коаксиальных пар позволяют передавать широкий спектр частот и обеспечивают высокую помехозащищённость. Это связано с закрытостью данной системы электросвязи от взаимных и внешних полей. Рассмотрим это на примере магнитного поля:

 

 

Поверхностный эффект является причиной активного сопротивления с ростом частоты.

Количественной характеристикой действия вихревых токов является коэффициент вихревых токов:

Все частотно-зависимые параметры проводников цепи зависят только от вихревых токов.

 

Вывод: чем выше частота, тем больше рабочий ток смещается на внутреннюю поверхность внешнего проводника, и тем выше защищённость коаксиальной пары от внешних электромагнитных помех. Таким образом, мы видим, что в симметричных цепях, помехозащищённость ухудшается с ростом частоты. А в коаксиальных цепях с ростом частоты помехозащищённость, напротив, увеличивается.

 

Рассмотрим процессы в коаксиальной паре без учёта действия вихревых токов, а значит и без учёта потерь в проводниках. Согласно уравнению Умова-Пойнтинга передача энергии в такой цепи будет соответствовать направлению вектора Умова-Пойнтинга вдоль оси Z:

Для определения величины энергии необходимо найти составляющие Е_r и Н_j.

Рассмотрим систему уравнений Максвелла для этих составляющих:

Предполагаем, что электромагнитное поле изменяется по экспоненциальному закону и составляющие Е_r  и Н_j можно записать в следующем виде:

 

Где g-коэффициент распространения цепи, Е_r0 и Н_j0-начальные значения составляющих поля. Беря от этих значений первые производные по координате z, получим:

Подставим значения производных в исходные уравнения и получим:

Разделим первое уравнение на второе:

Величина напряжения, действующего между проводниками цепи, может быть определена из интеграла:

Преобразуем выражение Е_r:

 

 

Из уравнения однородной линии известно соотношение:

 

 

Выводы: в идеальной цепи активное сопротивление равно нулю, индуктивность не зависит от частоты и определяется только межпроводниковой внешней индуктивностью. Проводимость изоляции существенно зависит от проводимости среды. Ёмкость зависит от диэлектрической проницаемости среды.

 

Лекция №10

 

В реальной цепи всегда действуют вихревые токи. С учётом этого уравнение Умова-Пойнтинга и направление действия векторов будет:

 

Найдём Е _Z и Н _j .

Полное сопротивление цепи с потерями будет складываться из Z_a и Z_в.

Рассмотрим систему уравнений Максвелла для Е_Z и Н_j, которые путём преобразований можно представить в виде волновых уравнений второго порядка.

Здесь А и В - постоянные интегрирования, I₀ – Функция Бесселя первого рода нулевого порядка.

Данные функции Бесселя определяют изменение параметров передачи в зависимости от действия вихревых токов. В аргумент этих токов непосредственно входит коэффициент вихревых токов коэффициента радиуса проводника r.

Графики функций Бесселя:

 

 

Рассматривая электрические процессы в проводниках, мы выясним, что с увеличением радиуса и, соответственно, координаты r величина напряжённости поля возрастает от центра к поверхности проводника, то есть поведение функции Бесселя второго рода нулевого порядка не соответствует физическому смыслу явления. Поэтому величиной k₀ пренебрегаем и решение для составляющей E_Z будет иметь вид:

Из системы уравнений Максвелла можно записать выражение для Н_j:

Но с другой стороны:

Приравнивая координату r к радиусу внутреннего проводника, находим постоянную интегрирования А:

Подставим в решение постоянную интегрирования А:

если f>60кГц, то:

 

Для медного проводника выражение можно упростить:

Рассмотрим решение волнового уравнения Гельмгольца:

 

 

Подставляя Е_r и Нj в исходные уравнения, Умова-Пойтинга, получим выражение для внешнего проводника цепи:

Функции Бесселя можно представить в виде асимптотически сходящихся рядов следующего вида:

 

Ограничивая эти ряды тремя составляющими, и, подставляя их значения в сопротивление проводника, получим:

Для медных проводников:

Наряду с внутренней индуктивностью проводников в коаксиальной цепи действует межпроводниковая индуктивность.

 

 

Если внешний проводник сделан из алюминия, то:

 

 

Лекция №11

 

В изоляции двухпроводных цепей происходят два основных процесса:

1. Поляризация

2. Переориентация диполей

 

В отличии от проводников в изоляции отсутствуют свободные носители заряда. Поэтому если к проводникам приложено напряжение, связанные заряды в пределах атомов смещаются на определённое расстояние, то есть происходит поляризация диполей. Степень поляризации диэлектрика характеризуется его диэлектрической проницаемостью. Если напряжение переменное, то происходит переориентация диполей с частотой этого напряжения. При перемещении диполей, за счёт трения выделяется тепловая энергия. Чем выше диэлектрическая проницаемость изоляции и выше частота, тем большие потери энергии происходят в диэлектрике.

Соотношение между токами определяет величину потерь. Чем больше активная составляющая I_a, тем больше потери.

Количественно величина потерь оценивается tgρ - тангенсом угла потерь.

Аналитические выражения первичных параметров передачи найдены в пункте «передача энергии в цепи с потерями». Вторичные параметры могут быть найдены из первичных параметров с использованием формул однородной линии.

Иногда удобнее параметры коаксиальной цепи выражать через конструктивные параметры изоляции.

Частотные зависимости

 

Существует определённое оптимальное отношение диаметров проводников коаксиальной цепи, обеспечивающее минимум затухания.

 

Для различных металлов:

металл	С u	Al	Fe	Pb	Zn
D/d	3,6	3,9	4,2	5,2	4,5

 

Таким образом, отклонение размера коаксиального кабеля от оптимального наиболее существенным образом сказывается при соотношении меньших оптимальных. Поэтому в реальных цепях с учётом технического допуска соотношение для проводников выбирают несколько большим оптимального.

Лекция №12

 

Электромагнитное поле симметричной цепи:

Симметричные цепи – это открытые НСЭ, поэтому электромагнитное поле действует на значительное расстояние, приводя к повышенным взаимным влияниям между цепями и, наводя электромагнитное поле в экранах и оболочках в соседних цепях, окружающих металл. Кроме этого электромагнитное поле обладает существенной симметрией относительно проводников. Поэтому при рассмотрении параметров передачи необходимо учитывать эти особенности. Активное сопротивление (один из важнейших параметров передачи) будет состоять из четырёх слагаемых:

 

R_БП - сопротивление за счёт эффекта близости.

R_H- потери в окружающих массах.

R₀- сопротивление цепи.

R_ПЭ- сопротивление за счёт поверхностного эффекта.